发表机构
Chiba Keizai University High School（千叶经济大学附属高等学校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文建立 Negami 三变量图多项式与破圈复形 Stanley-Reisner 环的直接联系，给出 Negami--Hilbert 对应，并推导多类图的公式，最后通过三角形边代数恢复完整多项式。
AI 中文摘要
我们建立了 Seiya Negami 的三变量图多项式 $f(G;t,x,y)$ 与图拟阵的破圈复形的 Stanley-Reisner 环之间的直接联系。对于连通无环图 $G$，色多项式特化 $f(G;q,-1,1)=P_G(q)$ 结合 Whitney 破圈定理得到 \\[ h_{\BC(G)}(z)=(-z)^r\left[\frac{f(G;q,-1,1)}{q}\right]_{q=(z-1)/z},\qquad r=|V(G)|-1. \\] 为简洁起见，我们将这一显式复合映射称为 Negami--Hilbert 对应。其背后的色多项式/特征多项式到破圈 Hilbert 级数的关系是经典的，我们不对该基础恒等式主张新颖性。我们将此表述置于 Negami、Oxley、Whitney、Brylawski--Oxley、Proudfoot--Speyer、Llamas--Martínez-Bernal--Merino 和 Berget 等人工作的背景中。随后，我们推导了圈 $C_n$、轮图 $W_n$、完全图 $K_n$、完全二部图 $K_{m,n}$、强正则图、大围长正则图以及 Ramanujan 图的闭式或低次公式。最后，作为保留完整三变量 Negami 多项式的第一个非平凡构造，我们为三角形 $C_3$ 的无平方边代数配备图拟阵秩滤过，并从相关分次代数的大分次 Hilbert 多项式恢复完整多项式 $f(C_3;t,x,y)$。
英文摘要
We establish a direct connection between Seiya Negami's three-variable graph polynomial $f(G;t,x,y)$ and the Stanley-Reisner ring of the broken-circuit complex of the graphic matroid. For a connected loopless graph $G$, the chromatic specialization $f(G;q,-1,1)=P_G(q)$ together with Whitney's broken-circuit theorem yields \[ h_{\BC(G)}(z)=(-z)^r\left[\frac{f(G;q,-1,1)}{q}\right]_{q=(z-1)/z},\qquad r=|V(G)|-1. \] For brevity, we call this explicit composite map the \emph{Negami--Hilbert correspondence}. The underlying chromatic/characteristic-polynomial-to-broken-circuit-Hilbert-series relation is classical, and no claim of novelty is made for that underlying identity. We place the formulation in the context of works of Negami, Oxley, Whitney, Brylawski--Oxley, Proudfoot--Speyer, Llamas--Martínez-Bernal--Merino, and Berget. We then derive closed or low-degree formulas for cycles $C_n$, wheels $W_n$, complete graphs $K_n$, complete bipartite graphs $K_{m,n}$, strongly regular graphs, large-girth regular graphs, and Ramanujan graphs. Finally, as a first nontrivial construction retaining the full three-variable Negami polynomial, we equip the squarefree edge algebra of the triangle $C_3$ with the graphic-matroid rank filtration and recover the complete polynomial $f(C_3;t,x,y)$ from the bigraded Hilbert polynomial of the associated graded algebra.
