发表机构
Graduate School of System Informatics, Kobe University; Hetao Institute of Mathematics and Interdisciplinary Studies（神户大学系统信息研究生院; 深圳河套数学与交叉学科研究院）
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本文研究线性控制系统最优镇定前因子在衰减率端点处的渐近阶，证明其由可控性指标或不可控部分最大Jordan块尺寸决定，并可由渐近阶反推该结构不变量。
AI 中文摘要
考虑可镇定的有限维线性控制系统 $\dot x=Ax+Bu$。对于给定的衰减率 $\delta>0$，我们定义最优镇定前因子 $$ \hat{C}(\delta):= \inf_{K\in\mathbb{R}^{m\times n}} \sup_{t\ge0}e^{\delta t}\\|e^{(A+BK)t}\\|. $$ 我们确定其当 $\delta$ 趋近于可实现衰减率范围的右端点时的渐近行为。若 $(A,B)$ 可控且 $\mu$ 为其最大可控性指标，则当 $\delta\to+\infty$ 时，$\hat{C}(\delta)\asymp\delta^{\mu-1}$；而若 $(A,B)$ 可镇定但不可控，则当 $\delta\uparrow\delta_*$ 时，$\hat{C}(\delta)\asymp(\delta_*-\delta)^{-(q-1)}$，其中 $\delta_*$ 是最大可实现衰减率，$q$ 是与谱边界 $\operatorname{Re}\lambda=-\delta_*$ 相关的不可控部分的最大Jordan块尺寸。因此，在两种情况下，$\hat{C}(\delta)$ 的端点渐近阶由相应的结构不变量决定——可控情形下的 $\mu$ 和不可控情形下的 $q$——反之，该阶数也恢复该不变量。
英文摘要
Consider the stabilizable finite-dimensional linear control system $\dot x=Ax+Bu$. For a prescribed decay rate $δ>0$, we define the optimal stabilization prefactor $$ \hat{C}(δ) := \inf_{K\in\mathbb{R}^{m\times n}} \sup_{t\ge0}e^{δt}\|e^{(A+BK)t}\|. $$ We determine its asymptotic behavior as $δ$ approaches the right endpoint of the achievable decay-rate range. If $(A,B)$ is controllable and $μ$ is its largest controllability index, then $\hat{C}(δ)\asympδ^{μ-1}$ as $δ\to+\infty$; whereas if $(A,B)$ is stabilizable but not controllable, then $\hat{C}(δ)\asymp(δ_*-δ)^{-(q-1)}$ as $δ\uparrowδ_*$, where $δ_*$ is the supremal achievable decay rate and $q$ is the largest size of a Jordan block of the uncontrollable part associated with the spectral boundary $\operatorname{Re}λ=-δ_*$. Thus, in both cases, the endpoint asymptotic order of $\hat{C}(δ)$ is determined by the corresponding structural invariant---$μ$ in the controllable case and $q$ in the noncontrollable case---and conversely this order recovers that invariant.
Comments18 pages
