关于小分圆整数的分类

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我们给出了一个关于分圆代数整数的一般分类定理，其所有复绝对值的上界由固定常数 $c$ 控制，该定理以 Cassels 定理为模型，后者处理 $c = \sqrt{5}$ 的情形，但存在有限多个例外。作为推论，我们证明了将分圆整数映射到其最大复绝对值的函数的值域是实数集的一个良序（但非闭）子集。我们还对固定数域的最大分圆扩张中的代数数阐述了类似结论。证明结合了 Loxton 的一个结果（该结果以最大复绝对值来界定分圆整数最短加法表示中单位根的数量）以及 Bilu 等人关于代数环面上挠点在 Galois 轨道上的等分布定理。

英文摘要

We give a general classification theorem for cyclotomic algebraic integers with all complex absolute values bounded by a fixed constant $c$, modeled on the theorem of Cassels which treats the case $c = \sqrt{5}$ up to finitely many exceptions. As a corollary, we establish that the range of the function taking a cyclotomic integer to its maximum complex absolute value is a well-ordered (but not closed) subset of the real numbers. We also formulate analogous statements for algebraic numbers in the maximal cyclotomic extension of a fixed number field. The proofs combine a result of Loxton, which bounds the number of roots of unity in the shortest additive representation of a cyclotomic integer in terms of the maximum complex absolute value, with an equidistribution theorem of Bilu et al. for Galois orbits of torsion points on algebraic tori.

发表机构

• Christian-Albrechts University of Kiel（基尔大学）
• Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究学院浦那分校）
• University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
• Oakland University（奥克兰大学）

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