Allen-Cahn方程在极小等参超曲面附近的界面叶状结构
Interface foliation near a minimal isoparametric hypersurface for the Allen-Cahn equation
- IMAS, CONICET-UBA（IMAS, 阿根廷国家科学研究委员会-布宜诺斯艾利斯大学）
- CONICET（阿根廷国家科学研究委员会）
- Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT（数学研究中心）
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AI总结：
本文在正里奇曲率闭流形上，构造了Allen-Cahn方程沿等参函数水平集为常数且具有k个节点分量的解，证明其节点分量在参数趋于无穷时收敛到极小等参超曲面，且能量一致有界。
AI中文摘要：
设$(M,g)$为具有正里奇曲率的闭黎曼流形。设$f$为$M$上的正常等参函数，且$\Gamma$为$f$的唯一水平集，其为极小超曲面。对于任意正整数$k$及足够大的$\lambda>0$，我们构造了Allen-Cahn方程$\Delta u + \lambda (u-u^3)=0$的一个解，该解沿$f$的水平集为常数，且恰好具有$k$个节点分量。我们证明了当$\lambda \rightarrow \infty$时，这些节点分量趋近于极小等参超曲面$\Gamma$，并且所有此类解的能量一致有界。
英文摘要：
Let $(M,g)$ be a closed Riemannian manifold of positive Ricci curvature. Let $f$ be a proper isoparametric function on $M$, and $Γ$ the unique level set of $f$ which is a minimal hypersurface. For any positive integer $k$, and $λ>0$ large enough, we construct a solution of the Allen-Cahn equation $ Δu + λ(u-u^3 ) =0$ which is constant along the level sets of $f$ and has exactly $k$ nodal components. We prove that the nodal components approach the minimal isoparametric hypersurface $Γ$ as $λ\rightarrow \infty$ and the energy is uniformly bounded for all such solutions.
