拓扑动力系统的一个尖锐嵌入定理
A sharp embedding theorem for topological dynamical systems
- Fudan University（复旦大学）
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AI总结：
本文证明拓扑动力系统嵌入到符号空间的条件：动力学维数小于 n/2 时嵌入映射构成稠密 Gδ 集，且维数有限等价于可嵌入，常数 1/2 最优。
AI中文摘要：
设 $(X,T)$ 为拓扑动力系统，$\\(X,T)$ 表示 Meyerovitch 动力学维数。我们证明，对每个整数 $n\geq1$，若 $\dim(X,T)<n/2$，则使得轨道映射 $I_f: X\longrightarrow([0,1]^n)^{\mathbb{Z}}$，$I_f(x)=(f(T^k x))_{k\in\mathbb{Z}}$ 为拓扑嵌入的映射 $f\in C(X,[0,1]^n)$ 之集是稠密 $G_\delta$ 集。因此，$(X,T)$ 可嵌入 $(([0,1]^n)^{\mathbb{Z}},\sigma)$ 对某整数 $n\geq1$ 成立当且仅当 $\dim(X,T)<\infty$。常数 $1/2$ 与严格不等式是最优的。
英文摘要：
Let $(X,T)$ be a topological dynamical system, and let $\dim(X,T)$ denote Meyerovitch's dynamical dimension. We prove that, for every integer $n\geq1$, if $\dim(X,T)<n/2$, then the set of maps $f\in C(X,[0,1]^n)$ for which the orbit map $$ I_f: X\longrightarrow([0,1]^n)^{\mathbb{Z}}, \qquad I_f(x)=\bigl(f(T^k x)\bigr)_{k\in\mathbb{Z}}, $$ is a topological embedding is a dense $G_δ$ set. Consequently, $(X,T)$ embeds into $(([0,1]^n)^{\mathbb{Z}},σ)$ for some integer $n\geq1$ if and only if $\dim(X,T)<\infty$. The constant $1/2$ and the strict inequality are optimal.
