关于 $\mathbb{F}_q^n$ 上完全置换的构造

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完全置换多项式在密码学中扮演着重要角色，尤其是在Lai-Massey方案和S盒等密码原语的设计中。我们推广了Sun、Li、Guo和Qu（2021）的一个结果，刻画了映射 $\Psi(X)=M(X+\psi(AX))$ 在 $\mathbb{F}_q^n$ 上的完全置换行为，其中 $\mathbb{F}_q$ 是含有 $q$ 个元素的有限域，$q$ 为素数幂，$M\in GL(n, \mathbb{F}_q)$，$GL(n, \mathbb{F}_q)$ 是 $\mathbb{F}_q$ 上的 $n$ 阶一般线性群，$A_{m \times n}$ 是 $\mathbb{F}_q$ 上的满秩矩阵，$\psi=(\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n)$，每个分量函数 $\psi_i:\mathbb{F}_q^m\to\mathbb{F}_q$。此外，我们建立了映射 $F(X)=T(X+B^tf(AX))$ 在 $\mathbb{F}_{q}^n$ 上的置换和完全置换性质的判定准则，其中 $f: \mathbb{F}_{q}^{m} \rightarrow \mathbb{F}_{q}^{n-m}$，$T \in GL(n, \mathbb{F}_q)$，$A_{m \times n}$ 和 $B_{(n-m)\times n}$ 是 $\mathbb{F}_q$ 上的满秩矩阵，$B^t$ 表示矩阵 $B$ 的转置，$0<m<n$ 为整数。这些结果也推广了Gravel和Panario（2023）的早期结果，他们证明了在条件 $AB^t=0$ 下，任意函数 $f$ 从 $\mathbb{F}_q^m$ 到 $\mathbb{F}_q^{\\,n-m}$ 都可以通过映射 $F(X)=T(X+B^tf(AX))$ 扩展为 $\mathbb{F}_{q}^n$ 上的双射。这里我们不施加 $AB^t=0$ 的限制。

英文摘要

Complete permutation polynomials play an important role in cryptography, particularly in the design of cryptographic primitives such as the Lai--Massey scheme and S-boxes. We generalize a result of Sun, Li, Guo, and Qu (2021) by characterizing the complete permutation behavior of the mapping $Ψ(X)=M(X+ψ(AX))$ over $\mathbb{F}_q^n$, where $\mathbb{F}_q$ is a finite field of $q$ elements with $q$ being a prime power, $M\in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $GL(n, \mathbb{F}_q)$ is the general linear group of order $n$ over $\mathbb{F}_q$, $A_{m \times n}$ is a full-rank matrix over $\mathbb{F}_q$, and $ψ=(ψ_1,ψ_2,\ldots,ψ_n)$ with each component function $ψ_i:\mathbb{F}_q^m\to\mathbb{F}_q$. Furthermore, we establish criteria for the permutation and complete permutation properties of the mapping $F(X)=T(X+B^tf(AX))$ over $\mathbb{F}_{q}^n$, $f: \mathbb{F}_{q}^{m} \rightarrow \mathbb{F}_{q}^{n-m}$, $T \in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $A_{m \times n}$ and $B_{(n-m)\times n}$ are full-rank matrices over $\mathbb{F}_q$, $B^t$ represents the transpose of the matrix $B$, and $0<m<n$ are integers. These results also generalize an earlier result of Gravel and Panario (2023), who showed that any arbitrary function $f$ from $\mathbb{F}_q^m$ to $\mathbb{F}_q^{\,n-m}$ can be extended to a bijection over $\mathbb{F}_{q}^n$ through the mapping $F(X)=T(X+B^tf(AX))$, under the condition $AB^t=0$. Here we do not impose the restriction that $AB^t=0$.

发表机构

• Indian Institute of Technology Jammu（印度技术学院斋浦尔分校）
• Carleton University（卡尔顿大学）

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