Erdős–Sós猜想的极端情形
The extremal cases of the Erd\H os--Sós conjecture
- Institute of Mathematics, Academia Sinica（数学研究所，中央研究院）
- Departamento de Ingeniería Matemática y Centro de Modelamiento Matemático (CNRS IRL2807), Universidad de Chile（数学工程系与数学建模中心（法国国家科学研究中心国际研究联系单位2807），智利大学）
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AI总结：
本研究解决Erdős–Sós猜想的极端情形，证明满足特定最小度子图条件的图均符合该猜想，明确了极端情形下子图的两种形态。
AI中文摘要：
Erdős–Sós猜想指出，每个有n个顶点、边数超过(k-2)n/2的图G都包含每一棵有k个顶点的树。我们解决了该猜想的极端情形，证明对于某个固定的μ>0，每个恰好满足猜想假设且具有子图H（最小度δ(H)≥(1−μ)k）的图G，该猜想均成立。在证明中，我们主要处理H的两种不同形态：要么H接近完全图K_k，要么H接近完全二部图K_{k,k}。
英文摘要：
The Erd\H os--Sós conjecture states that every $n$-vertex graph $G$ with more than $(k-2)n/2$ edges contains every $k$-vertex tree. We solve the extremal cases of this conjecture, showing that for some fixed $μ>0$, the conjecture holds for each $G$ that minimally satisfies the assumptions of the conjecture and has a subgraph~$H$ of minimum degree $δ(H)\ge (1-μ)k$. In our proof, we mainly have to deal with $H$ taking two different shapes: either $H$ is close to the complete graph $K_k$ or $H$ is close to the complete bipartite graph $K_{k,k}$.
