发表机构
Åbo Akademi University; University of Eastern Finland; University of Reading; University of Helsinki（奥布皇家学院; 东芬兰大学; 雷丁大学; 赫尔辛基大学）
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该研究证明了复单位圆上实值函数共轭函数的指数可积性相关结果，包括存在宽度至少为π的本质值域间隙时指数函数不可积，还建立了局部版本及复值函数的对应结论。
AI 中文摘要
我们证明：若复单位圆上的实值函数 $f\in L^1$ 在其本质值域中存在宽度至少为 $\pi$ 的间隙，则 $\exp(\widetilde f)$ 不可积，其中 $\widetilde f$ 为共轭函数。更一般地，指数函数可替换为满足 $$ \int_0^\infty Y(x) e^{-x}\\, dx = \infty $$ 的任意非负凸函数 $Y$。我们还建立了单位圆弧上的局部版本：在间隙两侧原像的自然条件下，$\widetilde f$ 在该弧上不具备 $Y$ 可积性；特别地，只要其中一个原像模零集后不是区间即可满足该条件。最后，我们得到了复值函数的对应结论。
英文摘要
We prove that if a real-valued function $f\in L^1$ on the complex unit circle has a gap of width at least $π$ in its essential range, then $\exp(\widetilde f)$ is not integrable, where $\widetilde f$ is the conjugate function. More generally, the exponential function can be replaced by any nonnegative convex function $Y$ satisfying $$ \int_0^\infty Y(x) e^{-x}\, dx = \infty. $$ We also establish a local version on arcs of the unit circle: Under a natural condition on the inverse images of the two sides of the gap, $\widetilde f$ fails to be $Y$-integrable on the arc; in particular, it suffices that one of these inverse images is not an interval modulo null sets. Finally, we obtain corresponding results for complex-valued functions.
