d维拉格朗日谱中原点附近点的分布
Distribution of points near the origin in the $d$-dimensional Lagrange spectrum
- University of York（约克大学）
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AI总结：
本文受施密特游戏启发，开发新框架研究d≥2时联立丢番图逼近的拉格朗日谱，确定原点附近点集的豪斯多夫维数下界，证明拉格朗日谱的盒维数下界，还得出方阵情形下线性形式系统的拉格朗日谱不可数的结论。
AI中文摘要：
我们受施密特游戏（Schmidt's games）启发，开发了一个新框架，用于研究维度$d\geq2$下联立丢番图逼近的拉格朗日谱。我们证明，对于某个常数$\delta>0$，$\mathbb{R}^d$中最佳逼近常数落在$[\varepsilon,\varepsilon(1+\delta\varepsilon^d)]$内的点集的豪斯多夫维数为正，且对于稍大的集合，当$\varepsilon\to0$时该维数趋近于满维。我们还证明，d维拉格朗日谱的盒维数下界为$1-\frac{1}{d+1}$。证明过程结合了单纯形引理（Simplex lemma）在有理点附近的新应用与博弈论框架。作为额外结果，我们利用一个初等观察证明，对于方阵情形，自然定义的线性形式系统的拉格朗日谱是不可数的。
英文摘要：
We develop a new framework, inspired by Schmidt's games, to study the Lagrange spectrum for simultaneous Diophantine approximation in dimension $d\geq 2$. We show the Hausdorff dimension of the set of points in $\mathbb{R}^{d}$ whose best approximation constant lies in $[\varepsilon,\varepsilon(1+δ\varepsilon^{d})]$, for some constant $δ>0$, is positive, and for a slightly larger set approaches full dimension as $\varepsilon \to 0$. The proof combines a novel application of the Simplex lemma near rational points with the game-theoretic framework. We also use an elementary observation to show that the naturally defined Lagrange spectrum for systems of linear forms is uncountable in the case of square matrices.
