代数Toeplitz代数的李理想与李导子
Lie Ideals and Lie Derivations of the Algebraic Toeplitz Algebra
- Ho Chi Minh City University of Education（胡志明市教育大学）
- University of Transport and Communications（交通通信大学）
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AI总结：
本文对代数Toeplitz代数$\boldsymbol{\top}$的李理想进行分类，证明非中心李理想包含有限迹零李代数$\boldsymbol{s}$，还将其李导子表示为结合导子与中心李导子之和。
AI中文摘要：
设K为域，$\boldsymbol{\top}=L_K(E_T)$为代数Toeplitz代数，本文对$\boldsymbol{\top}^-$的李理想进行分类。若w为Toeplitz图的汇点，$F=I(w)$，则$F\not\ni M_\boldsymbol{\to}(K)$，$\boldsymbol{\top}/F\not\ni K[t,t^{-1}]$，且$[\boldsymbol{\top},\boldsymbol{\top}]=F$。本文证明所有非中心李理想都包含$\boldsymbol{s}=[F,F]$，即有限迹零李代数，因此分类可简化为海森伯型商$\boldsymbol{\top}/\boldsymbol{s}$。李理想恰好是0、K1、空间$\boldsymbol{s}+U$（其中$U\not\ni P_K\bigoplus Kw$且$w\notin U$），以及逆像$\rho^{-1}(W)$（其中$W\not\ni K[t,t^{-1}]$）。当特征为0时$P_K=K1$；当$\text{char}K=\boldsymbol{\to}>0$时，$P_K=\text{span}_K\{1,e^{m\boldsymbol{\to}},(e^*)^{m\boldsymbol{\to}}:m\not\ni1\}$。本文还将$\boldsymbol{\top}^-$的李导子描述为$\boldsymbol{\top}$的结合导子与通过$\boldsymbol{\top}/F$分解的中心李导子的和。
英文摘要：
Let $K$ be a field and let $\T=L_K(E_T)$ be the algebraic Toeplitz algebra. We classify the Lie ideals of $\T^-$. If $w$ is the sink of the Toeplitz graph and $F=I(w)$, then $F\cong M_\infty(K)$, $\T/F\cong K[t,t^{-1}]$, and $[\T,\T]=F$. We prove that every noncentral Lie ideal contains $\mathfrak s=[F,F]$, the finitary trace-zero Lie algebra. Thus the classification reduces to the Heisenberg-type quotient $\T/\mathfrak s$. The Lie ideals are precisely $0$, $K1$, the spaces $\mathfrak s+U$, where $U\leq P_K\oplus Kw$ and $w\notin U$, and the inverse images $ρ^{-1}(W)$, where $W\leq K[t,t^{-1}]$. Here $P_K=K1$ in characteristic $0$, and $P_K=\operatorname{span}_K\{1,e^{m\ell},(e^*)^{m\ell}:m\geq1\}$ if $\operatorname{char}K=\ell>0$. We also describe the Lie derivations of $\T^-$ as sums of associative derivations of $\T$ and central Lie derivations factoring through $\T/F$.
