格拉斯曼流形的一般普吕克线性截面上的二次曲线模空间

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设V为n维复向量空间，令G=Gr(k,V)为普吕克嵌入的格拉斯曼流形，Y_E=G∩P(E^⊥)为一般余维r的线性截面。我们研究光滑二次曲线的开希尔伯特概型R₂(Y_E)。极小旗包络型二次曲线确定了Fl(k-2,k+2;V)中的一个旗，以及自然关联的秩6丛中的一个平面，由此得到一个一致的相对格拉斯曼模型。利用相对舒伯特一般位置论证，我们证明：当0≤r≤3时，R₂(Y_E)非空、光滑、不可约且有理，维数为2n+k(n−k)−3−3r，且双有理等价于Fl(k-2,k+2;V)×Gr(3,6−r)；当r≥4时，极小包络轨迹在秩3层上与具有自然关联模型的秩3退化轨迹相关。在预期维数为0时，等变局部化给出Gr(2,7)和Gr(3,6)的一般线性截面上分别有1225个和1176个二次曲线。

英文摘要

Let $G=\operatorname{Gr}(k,V)$ be a complex Grassmannian in its Pl$ü$cker embedding, and let $Y_E$ be a general codimension-$r$ linear section. We study the open Hilbert scheme $R_2(Y_E)$ of smooth conics using the kernel and span of a conic. These define a flag variety $B=\operatorname{Fl}(k-2,k+2;V)$ and a relative Grassmannian of three-planes in a rank-six bundle. For $0\le r\le3$, we prove that $R_2(Y_E)$ is nonempty, smooth, irreducible and rational of dimension $e=2\dim V+k(\dim V-k)-3-3r$, with birational model $B\times\operatorname{Gr}(3,6-r)$. For $r\ge4$, a general-position argument gives a componentwise birational correspondence with a rank-three degeneracy locus and two smooth projective incidence resolutions. Every component meets the locus of smooth minimal-envelope conics; no additional density assumption is needed for general $E$. If $0\le e\le r$, the degeneracy locus itself is smooth. In dimension zero we obtain a top Chern class formula, recovering the known counts $1225$ and $1176$ by exact localization.

发表机构

• School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）

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