埃尔德什相似性猜想与拉伊赫曼测度
The Erdős similarity conjecture and Rajchman measures
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- University of Rochester（罗切斯特大学）
- University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
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中文总结 AI 辅助
该研究证明支撑拉伊赫曼测度的集合满足埃尔德什相似性猜想的一致大集形式，改进Ivašev-Musatov定理得到特定豪斯多夫规范下的紧拉伊赫曼支撑，相关对数维度值为1且最优。
中文摘要 AI 辅助
设A是实数集ℝ的子集，且支撑一个概率测度，其傅里叶-斯蒂尔杰斯变换在无穷远处趋于零。我们证明，对每个ε∈(0,1)，存在一个闭的、1周期的、无处稠密的实数集E，使得对每个长度为1的区间I，都有m(E∩I)≥1−ε，同时E不包含A的任何仿射拷贝。由此可得，每个支撑拉伊赫曼（Rajchman）测度的集合都以一致大集的形式满足埃尔德什相似性猜想。该证明结合了测度大膨胀后的模1均匀分布与多尺度低密度周期阻断器，未使用傅里叶衰减的定量速率。我们还改进了Ivašev-Musatov的经典定理，证明对每个豪斯多夫规范h，存在一个h-零紧拉伊赫曼支撑K，满足$\boldsymbol{\text{dim}_{\text{B}}^{\text{log}} K = \text{dim}_{\text{P}}^{\text{log}} K = 1$，该维度值对两者均为最优。
英文摘要
Let $A\subseteq\mathbb{R}$ support a probability measure whose Fourier--Stieltjes transform tends to zero at infinity. We prove that, for every $\varepsilon\in(0,1)$, there is a closed, $1$-periodic, nowhere dense set $E\subseteq\mathbb{R}$ such that \[ m(E\cap I)\ge1-\varepsilon \] for every interval $I$ of length $1$, while $E$ contains no affine copy of $A$. Thus every set supporting a Rajchman measure satisfies the Erdős similarity conjecture in a uniform large-set form. The proof combines equidistribution modulo one for large dilates of the measure with a multiscale family of low-density periodic blockers; no quantitative rate of Fourier decay is used. We also refine a classical theorem of Ivašev-Musatov, showing that for every Hausdorff gauge $h$ there is an $h$-null compact Rajchman support $K$ satisfying \[ \overline{\dim}_{\mathrm B}^{\log} K=\dim_{\mathrm P}^{\log} K=1. \] The value $1$ is sharp for both dimensions.
