对称平方L-函数在水平方向的次凸性问题
The subconvexity problem for symmetric square $L$-functions in level aspect
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- ISI Statistics and Mathematics Unit Kolkata（印度统计研究所统计与数学单元加尔各答）
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中文总结 AI 辅助
本文针对GL₂(Q)尖点自守表示的对称平方L-函数，在素数p处有指定局部分歧的条件下，利用δ符号法等工具，首次得到GL₃(Q)自守表示L-函数的水平方向次凸界。
中文摘要 AI 辅助
本文研究了带有素数p处指定局部分歧的GL₂(Q)尖点自守表示的对称平方L-函数在水平方向的次凸性问题。具体来说，设π为导体q(π)=p²的温和尖点自守表示，其中心特征为导体p的非二次特征。我们证明，若对应的局部表示πₚ属于合适的表示类S，则L(1/2,Sym²π)≪_{ε,π_∞} q(Sym²π)^(1/4 - 1/168 + o(1))，其中隐含常数依赖于π_∞的谱参数的多项式。这是GL₃(Q)自守表示的L-函数在水平方向次凸界的首个实例。我们的方法基于δ符号法，除标准解析数论工具外，Katz的超几何和理论与Deligne的Weil猜想证明在证明中起重要作用。
英文摘要
In this paper, we address the subconvexity problem in level aspect for symmetric square $L$-functions for cuspidal automorphic representation of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q})$ with a prescribed local ramification at prime $p$. To be more precise, let $π$ be a tempered cuspidal automorphic representation of conductor $q(π)=p^2$ with a non-quadratic central character of conductor $p$. We prove that if the corresponding local representation $π_p$ belongs to a suitable class of representations $\mathcal S$, then \[ L\left(\frac{1}{2},\,\mathrm{Sym}^2π\right)\ll_{\varepsilon, π_\infty} q(\mathrm{Sym}^2π)^{\frac{1}{4}-\frac{1}{168}+o(1)}, \] where implied constant depends polynomially on the spectral parameters of $π_\infty$. This is the first instance of level-aspect subconvex bound for $L$-functions of a $\mathrm{GL}_3(\mathbb Q)$ automorphic representation. Our approach is based on the delta-symbol method. Apart from some standard analytic number theoretic tools, Katz's theory of hypergeometric sums, and Deligne's proof of Weil-conjectures play an important role in the proof.
