通过相对形变理论在单个素数处分歧的伽罗瓦表示
Galois representations ramified at one prime via relative deformation theory
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中文总结 AI 辅助
本文通过相对形变理论，在满足特定根论条件的分裂连通约化群上，构造了无限多个在单个素数 $p$ 处分歧、在其他素数处不分歧且具有开像的伽罗瓦表示，消除了此前工作的相关限制。
中文摘要 AI 辅助
设 $p$ 为奇素数，$\boldsymbol{G}/\boldsymbol{\text{Z}}$ 为分裂连通约化群，其中心维数满足 $\text{dim}\boldsymbol{Z}(\boldsymbol{G})\boldsymbol{\text{≤}}1$。假设 $\boldsymbol{G}$ 的分裂极大环面存在一个余特征，使得该余特征与每个单根的配对均为奇数，并对 $\text{Lie}(\boldsymbol{G}^{\text{der}})$ 模 $p$ 的约化施加明确的根论条件。我们构造无限多个连续表示 $\rho:G_{\boldsymbol{\text{\{}}p\boldsymbol{\text{\}}}}\boldsymbol{\text{→}}\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\text{Z}}_p)$，这些表示在除 $p$ 外的所有有限素数处均不分歧，且其像包含 $\boldsymbol{G}^{\text{der}}(\boldsymbol{\text{Z}}_p)$ 的主同余子群。当中心维数为1时，可选取这些表示使其在 $\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\text{Z}}_p)$ 中具有开像。该构造延续了作者此前关于在单个素数处分歧的 $\text{GL}_n$ 值表示的工作，但将此前使用的剩余无阻碍性替换为相对提升论证。对 $\boldsymbol{G}\boldsymbol{=}\text{GL}_n$，所有所需的根论条件对每个奇素数均自动成立，因此对每个奇素数 $p$ 和每个 $n\boldsymbol{\text{>}}1$，我们得到无限多个具有开像的表示 $G_{\boldsymbol{\text{\{}}p\boldsymbol{\text{\}}}}\boldsymbol{\text{→}}\text{GL}_n(\boldsymbol{\text{Z}}_p)$。特别地，这消除了作者此前工作中出现的弱 Vandiver 型假设，以及该构造中 $p\boldsymbol{\text{≥}}7$ 的限制。
英文摘要
Let $p$ be an odd prime and let $\mathbf{G}/\mathbb Z$ be a split connected reductive group with $\operatorname{dim} Z(\mathbf{G})\leq1$. Assume that a split maximal torus of $\mathbf{G}$ admits a cocharacter whose pairing with every simple root is odd, and impose an explicit root-theoretic condition on the reduction of $\mathrm{Lie}(\mathbf{G}^{\mathrm{der}})$ modulo $p$. We construct infinitely many continuous representations $ρ:G_{\{p\}}\longrightarrow\mathbf{G}(\mathbb{Z}_p)$ which are unramified at every finite prime different from $p$ and whose images contain a principal congruence subgroup of $\mathbf G^{\mathrm{der}}(\mathbb{Z}_p)$. When the center has dimension one, the representations may be chosen to have open image in $\mathbf{G}(\mathbb{Z}_p)$. The construction continues the author's earlier work on $\mathrm{GL}_n$-valued representations ramified at one prime, but replaces the residual unobstructedness used there by a relative lifting argument. For $\mathbf{G}=\mathrm{GL}_n$ all the required root-theoretic conditions are automatic for every odd prime. We therefore obtain, for every odd $p$ and every $n>1$, infinitely many representations $G_{\{p\}}\to\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_p)$ with open image. In particular, this removes the weak Vandiver-type hypothesis occurring in the author's previous work, as well as the restriction $p\geq7$ in that construction.
发表机构
- Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
