发表机构
University of South Florida; University of Pittsburgh（南佛罗里达大学; 匹兹堡大学）
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本文針對整數紐結環的卡普蘭斯基冪等元猜想，運用新的亞歷山大紐結傅立葉分析框架，證明了兩大類紐結的該猜想，並解決了雅布隆斯基提出的相關問題。
AI 中文摘要
2023年，第一作者努涅斯（Nunez）、辛格（Singh）與斯溫（Swain）[10]針對整數紐結環（integral quandle rings）提出了卡普蘭斯基（Kaplansky）冪等元猜想的類比版本。本文發展了一套全新的傅立葉分析方法來研究紐結環，並運用該方法對兩大類紐結證明了該猜想：包含二面體紐結（dihedral quandles）在內的高崎紐結（Takasaki quandles），以及中間性交換紐結（medial commutative quandles）。本文的核心貢獻是引入了亞歷山大紐結（Alexander quandles）上的傅立葉分析，為研究紐結環、特別是其冪等元提供了新的框架。運用該傅立葉分析框架，本文還證明了先前已知的、用於構造該猜想反例的充分條件實際上也是必要條件，從而解決了雅布隆斯基（Jablonowski）[12]提出的問題。
英文摘要
In 2023, the first author, Nunez, Singh, and Swain [10] formulated an analogue of Kaplansky's idempotent conjecture for integral quandle rings. In this paper, we develop a new Fourier-analytic approach to quandle rings and use it to establish the conjecture for two major classes of quandles: Takasaki quandles, including dihedral quandles, and medial commutative quandles. A central contribution of the paper is the introduction of Fourier analysis on Alexander quandles, which provides a new framework for studying quandle rings and, in particular, their idempotents. Using this Fourier-analytic framework, we also prove that a previously known sufficient condition for the existence of counterexamples to the conjecture is in fact necessary, thereby resolving a problem of Jablonowski [12].
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