发表机构
Putian University; School of Mathematics, Nanjing University（莆田学院; 南京大学数学系）
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该研究针对无团图直径的两个猜想构造反例，证明Czabarka等人的推广猜想对$k\ge7$不成立，还能推翻Erdős等人的原猜想。
AI 中文摘要
Erdős等人（发表于JCT-B，1989年）猜想，对于整数$r\ge2$和$\delta\ge2$，当$3r-1$整除$\delta$时，每个阶数为$n$、最小度为$\delta$的连通无$K_{2r+1}$图，其直径至多为$\frac{3r-1}{r}\cdot\frac{n}{\delta}+O(1)$。Czabarka等人（发表于JCT-B，2021年）随后提出推广猜想：对于每个$k\ge3$和$\delta\ge\lceil\frac{3k}{2}\rceil-1$，每个阶数为$n$、最小度至少为$\delta$的连通无$K_{k+1}$图，其直径至多为$(3-\frac{2}{k})\cdot\frac{n}{\delta}+O(1)$。我们证明，对于每个$k\ge7$和足够大的$\delta$，该推广猜想（包括其$k$可着色版本）不成立；当$k=2r\ge8$且$3r-1$整除$\delta$时，我们的构造还能推翻Erdős等人1989年的原猜想。
英文摘要
Erdős et al. (JCT-B, 1989) conjectured that, for integers $r\ge 2$ and $δ\ge 2$ with $3r-1\midδ$, every connected $K_{2r+1}$-free graph of order $n$ and minimum degree $δ$ has diameter at most $ \frac{3r-1}{r}\cdot \frac{n}δ+O(1)$. Czabarka et al. (JCT-B, 2021) later proposed the following generalization: for every $k\ge 3$ and $δ\ge\left\lceil\frac{3k}{2}\right\rceil-1$, every connected $K_{k+1}$-free graph of order $n$ and minimum degree at least $δ$ has diameter at most $(3-\frac{2}{k})\cdot\frac{n}δ+O(1)$. We disprove the latter conjecture, including its $k$-colorable version, for every $k\ge 7$ and sufficiently large $δ$. When $k=2r\ge 8$ and $3r-1\midδ$, our construction also disproves the conjecture of Erdős et al. (JCT-B, 1989).
