发表机构
Westlake University（西湖大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究针对 $\operatorname{PU}(D)$ 上的克利夫度量，通过推导得出无限克利夫直径的指数下界速率至少为 4/3，否定了 Brown 的指数为 1 的猜想，还得到了同阶的双量子比特电路下界。
AI 中文摘要
设 $D=2^n$，$M=3n+9\binom n2$，我们研究 $\operatorname{PU}(D)$ 上的右不变单步克利夫度量 $d_Q$，其中对 Pauli 权重 1 和 2 施加单位惩罚，对所有更高权重施加惩罚 $Q$。若 $M/Q_D\to0$ 且 $MQ_D^{3/4}/D^2\to0$，则对每个固定的 $0<x<\pi/\sqrt3$，有 $\mu_D\bigl(B_{Q_D}([I],x\sqrt{Q_D})\bigr)\le e^{-c_xD^2}$，这里 $\mu_D$ 是归一化 Haar 测度。因此在窗口 $M\ll Q_D\ll D^{8/3}M^{-4/3}$ 内，从恒元出发的 Haar 典型距离和直径均渐近于 $(\pi/\sqrt3)\sqrt{Q_D}$。选择 $Q_D=\kappa D^{8/3}M^{-4/3}$（其中 $\kappa>0$ 为足够小的固定值），可在 $e^{-\Omega(D^2)}$ 例外集外得到对应无限克利夫 Carnot–Carathéodory 距离的 Haar 典型下界，其阶为 $D^{4/3}M^{-2/3}$。由此，无限克利夫直径的指数下界速率至少为 $4/3$，否定了 Brown 的指数为 1 的猜想；该估计还给出了同阶的固定误差无辅助量子比特双量子比特电路下界。
英文摘要
Let $D=2^n$ and $M=3n+9\binom n2$. We study the right-invariant one-step-cliff metric $d_Q$ on $\operatorname{PU}(D)$, with unit penalty on Pauli weights one and two and penalty $Q$ on all higher weights. If $M/Q_D\to0$ and $MQ_D^{3/4}/D^2\to0$, then, for every fixed $0<x<π/\sqrt3$, \[ μ_D\bigl(B_{Q_D}([I],x\sqrt{Q_D})\bigr)\le e^{-c_xD^2}. \] Here $μ_D$ is normalized Haar measure. Thus the Haar-typical distance from the identity and the diameter are both asymptotic to $(π/\sqrt3)\sqrt{Q_D}$ throughout the window $M\ll Q_D\ll D^{8/3}M^{-4/3}$. Choosing $Q_D=κD^{8/3}M^{-4/3}$ with sufficiently small fixed $κ>0$ yields a Haar-typical lower bound of order $D^{4/3}M^{-2/3}$ for the corresponding infinite-cliff Carnot--Carathéodory distance, outside an $e^{-Ω(D^2)}$ exceptional set. The infinite-cliff diameter therefore has exponential lower rate at least $4/3$, disproving Brown's exponent-one conjecture. The same estimate gives a fixed-error no-ancilla two-qubit circuit lower bound of the same order.
CommentsMinor revision: corrected a citation and the corresponding bibliographic entry. No changes to the mathematical results
