AI 中文总结
本文针对整数集中三点模式的仿射副本计数问题，证明非等差数列型三点模式的计数上界，并优化了 Ganguly 提出的 $\{0,1,3\}$ 模式的计数上界。
AI 中文摘要
设三点模式 $P=\{0,a,b\}$，其中 $0<a<b$ 且 $\gcd(a,b)=1$。对于有限整数集 $A$，记 $M_P^+(A)$ 为满足 $d>0$ 的副本 $x, x+ad, x+bd\in A$ 的数量，$M_P(A)$ 为满足任意 $d\neq0$ 的副本数量。本文证明，除等差数列 $\{0,1,2\}$ 外的所有此类三点模式均满足 $M_P^+(A)\leq \frac{99}{400}|A|^2+O(|A|)$、$M_P(A)\leq \frac{13}{28}|A|^2+O_P(|A|)$。针对特定模式 $P=\{0,1,3\}$（Ganguly 提出的问题，列为 Green 开放问题列表的第24题），本文将其允许正负伸缩的边界优化为 $M_{\{0,1,3\}}(A)\leq \frac{47}{122}|A|^2+O(|A|)$。
英文摘要
Let $P=\{0,a,b\}$, where $0<a<b$ and $\gcd(a,b)=1$. For a finite set $A\subset\mathbb Z$, let $M_P^+(A)$ count the copies $x,x+ad,x+bd\in A$ with $d>0$, and let $M_P(A)$ count the copies with any $d\ne0$. We prove that every such three-point pattern other than the arithmetic progression $\{0,1,2\}$ satisfies \[ M_P^+(A)\le \frac{99}{400}|A|^2+O(|A|), \qquad M_P(A)\le \frac{13}{28}|A|^2+O_P(|A|). \] For the particular pattern $P=\{0,1,3\}$ -- the subject of a question raised by Ganguly and recorded as Problem 24 in Green's list of open problems -- we sharpen the bound allowing both signs of the dilation to \[ M_{\{0,1,3\}}(A)\le \frac{47}{122}|A|^2+O(|A|). \]
