发表机构
Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, CNRS, Nantes Université（让·勒雷数学实验室，法国国家科学研究中心，南特大学）
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该研究针对半经典薛定谔算子，结合Ingremeau的散射矩阵描述、Stefanov等的经典结果及Robert--Tamura的渐近等，得到固定能量下势的唯一性判定等逆散射相关结论。
AI 中文摘要
我们研究具有光滑势的半经典薛定谔算子在固定能量下的逆散射问题。对于紧支势，我们证明，在非俘获能量处，若当h→0时，对应的半经典散射矩阵在算子范数下相差o(1)，则相关的经典散射映射重合。该证明依赖于Ingremeau对散射矩阵在相干态上作用的描述。结合Stefanov--Uhlmann--Vasy的经典刚性结果，只要能量高于势，就可在自然位力条件下得到势的唯一性。随后我们考虑径向短程排斥势，在径向力的单调性假设下，经典散射关系仅有单分支。将Robert--Tamura的半经典散射渐近与经典Firsov--Abel反演公式结合，我们证明，单个固定能量下的微分截面可确定经典可达区域内的势。最后，我们对简单紧支度量扰动得到了类似的刚性结果。
英文摘要
We investigate inverse scattering at a fixed energy for semiclassical Schrödinger operators with smooth potentials. For compactly supported potentials satisfying a natural virial condition, we prove that $ \liminf_{h\to0} \|S_1(λ,h)-S_2(λ,h)\|<\sqrt{2} $ implies $V_1=V_2$, provided the fixed energy $λ$ lies above both potentials. We then consider radial short-range repulsive potentials. Under a monotonicity assumption on the radial force, we show that the semiclassical differential cross section at a single fixed energy, up to $o(1)$ as $h\to0$, determines the potential throughout the classically accessible region. Finally, we obtain an analogous rigidity result for nontrapping compactly supported perturbations of the Euclidean metric under a strict convexity assumption.
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