AI 中文总结
该研究针对三角范畴中倾斜对象与两项复形的关联问题，通过构造显式有限维例子证明：与挠对象关联的表示函子作用于pr(M)中的倾斜对象时，结果未必是倾斜对象，仅为两项挠复形，给出了该问题的否定答案。
AI 中文摘要
设M是幂等完全代数三角范畴𝒯中的一个挠对象，记B = End_𝒯(M)，且设ℙ_M∶pr(M)→K^{[-1,0]}(proj B)是与M关联的表示函子。近期有学者提出问题：当T∈pr(M)是倾斜对象时，ℙ_M(T)是否必为倾斜对象？我们通过一个显式有限维例子给出该问题的否定回答。具体而言，对于Λ = k(1→2→3→4)/(αβγ)，我们构造了K^b(proj Λ)中的一个挠对象M和pr(M)中的倾斜对象T = ΣΛ，满足dim_k Hom_{K^b(proj B)}(ℙ_M(T), Σ^{-1}ℙ_M(T)) = 1，因此ℙ_M(T)是两项挠复形而非倾斜复形。
英文摘要
Let $M$ be a silting object in an idempotent complete algebraic triangulated category $\mathcal T$. Put $B={\rm End}_{\mathcal T}(M)$, and let $\mathbb{P}_M\colon {\rm pr}(M)\to K^{[-1,0]}({\rm proj}B)$ be the presentation functor associated with $M$. It was recently asked whether $\mathbb{P}_M(T)$ must be tilting whenever $T\in{\rm pr}(M)$ is a tilting object. We answer this question in the negative by giving an explicit finite-dimensional example. Namely, for $$ Λ=k(1\xrightarrowα2\xrightarrowβ3\xrightarrowγ4)/(αβγ),$$ we construct a silting object $M\in K^b({\rm proj}Λ)$ and a tilting object $T=ΣΛ\in{\rm pr}(M)$ for which $$ {\rm dim}_k{\rm Hom}_{K^b({\rm proj}B)}\bigl(\mathbb{P}_M(T),Σ^{-1}\mathbb{P}_M(T)\bigr)=1.$$ Thus $\mathbb{P}_M(T)$ is a two-term silting complex but not a tilting complex.
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