阿尔伯森猜想在r不超过26时成立
A Proof of Albertson's Conjecture
- Government College of Engineering and Ceramic Technology（政府工程与陶瓷技术学院）
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AI总结：
本文解决了阿尔伯森猜想中r=25、26的三类剩余情形，结合已发表结果及附录对19≤r≤24的重证，证明该猜想对所有r≤26成立，还得出色数为27且交叉数小于cr(K_27)的图的相关子图性质。
AI中文摘要：
阿尔伯森猜想：每个色数为r的图，其交叉数至少为完全图K_r的交叉数cr(K_r)。此前该猜想已被证实：Albertson、Cranston和Fox证实r≤12时成立；Barát和Tóth证实r≤16时成立；Ackerman证实r≤18时成立；近期Cranston证实r≤24时成立，且将剩余的r∈{25,26}的情况简化为三类情形。本文解决了这三类情形，从而证明阿尔伯森猜想对所有r≤26均成立。本文仅使用已发表的结果，附录重新证明了19≤r≤24的范围，因此r≤26的情形不依赖未发表的工作。此外，本文还证明：若图G的色数χ(G)=27且交叉数cr(G)<cr(K_27)，则G存在阶为53或54的27-临界子图，其补图是连通的。
英文摘要：
Albertson conjectured that every graph of chromatic number r has crossing number at least that of K_r. We prove the conjecture for every r. After the known case r <= 18, an r-critical counterexample is reduced to two order ranges. Near r, we use Gallai's decomposition, completion, and a reserved weak-immersion routing argument. In the remaining middle range, we compress repeated independent-triple reductions into an exact terminal edge bound and combine it with sampled crossing-number inequalities. The remaining finite and interval inequalities are verified by exact certificates.
