发表机构
University of Vienna; Norwegian University of Science and Technology (NTNU); Erwin Schrödinger International Institute for Mathematics and Physics (ESI), University of Vienna; King’s College London（维也纳大学; 挪威科技大学; 维也纳大学埃尔温·薛定谔数学与物理国际研究所; 伦敦国王学院）
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该研究针对厄米特函数生成的Gabor框架，在格点密度条件外建立了新的渐近安全区域，给出了参数$a,b$的约束条件，拓展了Gabor框架的判定范围。
AI 中文摘要
本文旨在建立厄米特函数$h_n$的框架集的新区域。Gröchenig与Lyubarskii的经典结果表明，只要格点密度超过$n+1$，Gabor系统$\boldsymbol{\text{G}}(h_n,a\boldsymbol{\text{Z}}\times b\boldsymbol{\text{Z}})$就构成$L^2(\boldsymbol{\text{R}})$的框架。我们证明，对任意$\boldsymbol{\text{η}}>0$和所有足够大的$n$，只要$ab \boldsymbol{\text{≤}} n^{-\frac{2}{3}-\boldsymbol{\text{η}}}$，同一Gabor系统就构成框架。此外，我们在坐标轴附近获得渐近尖锐结果，即当参数$a$或$b$较小时，对任意$\boldsymbol{\text{δ}}>0$和$\boldsymbol{\text{ρ}}\boldsymbol{\text{∈}}(0,\frac{1}{2})$以及所有足够大的$n$，若$\boldsymbol{\text{min}}\boldsymbol{\text{\textlbrace}}a,b\boldsymbol{\text{\textrbrace}}\boldsymbol{\text{≤}}n^{-\frac{1}{2}-\boldsymbol{\text{δ}}}$且$ab\boldsymbol{\text{≤}}\frac{1}{2}-\boldsymbol{\text{ρ}}$，则$\boldsymbol{\text{G}}(h_n,a\boldsymbol{\text{Z}}\times b\boldsymbol{\text{Z}})$构成框架。
英文摘要
The aim of this paper is to establish new regions in the frame sets of Hermite functions $h_n$. A classical result of Gröchenig and Lyubarskii shows that the Gabor system $\mathcal{G}(h_n,a\mathbb{Z}\times b\mathbb{Z})$ forms a frame for $L^2(\mathbb{R})$ whenever the lattice density exceeds $n+1$. We show that, for every $η>0$ and all sufficiently large $n$, the same Gabor system forms a frame whenever $ab\leq n^{-\frac{2}{3}-η}$. Moreover, we obtain an asymptotically sharp result near the coordinate axes, i.e., when one of the parameters $a$ or $b$ is small. Namely, for every $δ>0$ and $ρ\in(0,\frac{1}{2})$ and all sufficiently large $n$ we prove that if $\min\{a,b\}\leq n^{-\frac{1}{2}-δ}$ and $ab\leq \frac{1}{2}-ρ$ then $\mathcal{G}(h_n,a\mathbb{Z}\times b\mathbb{Z})$ forms a frame.
Comments24 pages, 2 figurrs
