发表机构
LMU（慕尼黑大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究带边缘特征值的广义希尔伯特矩阵的Szegő型行列式渐近，明确δ < -1/2时的衰减指数二分性，所得行列式结果可应用于安德森正交灾难研究。
AI 中文摘要
我们计算单位矩阵加或减广义希尔伯特矩阵的行列式的大N渐近行为。对于自然数N和实数δ（δ不属于{-1,-2,…}），广义希尔伯特矩阵定义为H_N^δ := (sin((1+δ)π)/(π(j+k+1+δ)))_{j,k=0}^{N-1}。对于非半整数的δ，我们证明行列式的大N幂律渐近为log det(I_N ± H_N^δ) = - (θ_δ² ± θ_δ)/2 · log N + O(1)，其中当δ < -1/2时θ_δ := δ；当δ ≥ -1/2时，θ_δ := (1/π) arcsin(sin(δπ))，且arcsin为[-1,1]到[-π/2, π/2]的主值分支。对于δ ≥ -1/2的情况，该渐近已为人熟知；本文的创新点在于研究δ < -1/2的情形，明确衰减指数的二分性，这源于δ < -1/2时极限算子出现的±1边缘特征值。值得注意的是，我们得到δ < -1/2时log det(I_N - (H_N^δ)²) = -δ² · log N + O(1)。这类行列式在安德森正交灾难的研究中会出现。
英文摘要
We compute the large-$N$ asymptotics of the determinant of the identity plus or minus a generalized Hilbert matrix. For $N \in \mathbb{N}$ and $δ\in \mathbb{R} \setminus \{-1, -2, \ldots\}$, let \[ H_N^δ := \left( \frac{\sin((1+δ)π)}{π(j+k+1+δ)} \right)_{j,k=0}^{N-1} \] be the generalized Hilbert matrix. For $δ$ not a half-integer, we prove the large-$N$ power-law asymptotics of the determinant \[ \log \text{det}(I_N \pm H_N^δ) = -\frac{θ_δ^2 \pm θ_δ}{2} \log N + O(1) \] where $θ_δ:= δ$ if $δ< -1/2$, and $θ_δ:= \frac 1 π\arcsin(\sin(δπ))$ if $δ\ge -1/2$ and $\arcsin \colon [-1,1] \to [-\fracπ{2}, \fracπ{2}]$ denotes the principal branch of $\arcsin$. For $δ\geq -\frac 12$ the asymptotics is known. The novelty of the present paper is the regime $δ< - \frac 12$ and understanding the dichotomy in the decay exponent. This stems from the $\pm 1$ edge eigenvalues of the limiting operator appearing for $δ< - \frac 12$. Most notably, we obtain for $δ< -\frac12$ \[ \log \det\bigl(I_N - (H_N^δ)^2\bigr) = -δ^2 \log N + O(1). \] Such determinants arise in the study of Anderson's orthogonality catastrophe.
