AI 中文总结
本研究证实了相关图论猜想，通过新的Motzkin–Straus型不等式局部化Caro-Wei界，推广了谱二部性定理并改进特征值界，还否定了一个图论猜想。
AI 中文摘要
我们通过证明图的独立数的一个局部化下界，证实了Brause、Randerath、Rautenbach和Schiermeyer（2016）的猜想；该下界强化了Fajtlowicz（1978）以及Caro（1979）和Wei（1981）的经典界，进而解决了Bertram和Horák（1996）的猜想。我们的证明基于一个新的Motzkin–Straus型不等式，该不等式涉及局部团数和独立数。随后，我们将所开发的方法应用于研究图二部性的谱度量与代数度量；具体而言，我们将Brandt（1998）关于正则无K_{r+1}图的谱二部性的定理推广到所有无K_{r+1}图，改进了无K_{r+1}图的最小无符号拉普拉斯特征值的一般上界，并在无K_4图的情形下否定了de Lima、Nikiforov和Oliveira（2016）的一个猜想。
英文摘要
We confirm a conjecture of Brause, Randerath, Rautenbach and Schiermeyer (2016) by proving a localized lower bound on the independence number of a graph that strengthens the classical bounds of Fajtlowicz (1978) and of Caro (1979) and Wei (1981), which in turn settles a conjecture by Bertram and Horák (1996). Our proof is based on a new Motzkin--Straus-type inequality involving local clique numbers and the independence number. We then apply the developed methods to study spectral and algebraic measures of graph bipartiteness. In particular, we extend a theorem of Brandt (1998) on spectral bipartiteness from regular $K_{r+1}$-free graphs to all $K_{r+1}$-free graphs, we improve a general upper bound for the least signless Laplacian eigenvalue of $K_{r+1}$-free graphs, and we disprove a conjecture of de Lima, Nikiforov and Oliveira (2016) in the case of $K_4$-free graphs.
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