多项式理想中的三项式包含问题是不可判定的
Trinomial containment in polynomial ideals is undecidable
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中文总结 AI 辅助
该研究证明多项式理想中三项式包含问题不可判定，通过构造理想与整数零点的等价关系，结合MRDP定理，得到固定多项式环中编码停机问题的可计算理想族。
中文摘要 AI 辅助
我们证明在图灵机上判定多项式环中的理想是否包含一个三项式是不可能的。更准确地说，对于一个整数多项式$P$，我们可在$\boldsymbol{Q}$上的多项式环中计算出理想$I_P$的生成元，使得$I_P$包含一个三项式当且仅当$P$存在整数零点。根据MRDP定理，该问题是不可判定的。通用停机多项式给出了固定多项式环中可计算的理想族，其余长度、生成元数量和生成元次数均有统一界，三项式的包含关系编码了停机问题。
英文摘要
We prove that deciding whether an ideal in a polynomial ring contains a trinomial is impossible on a Turing machine. More precisely, from an integer polynomial $P$ we compute generators of an ideal $I_P$ in a polynomial ring over $\mathbb{Q}$ such that $I_P$ contains a trinomial if and only if $P$ has an integral zero. By the MRDP theorem this problem is undecidable. A universal halting polynomial gives a computable family of ideals in one fixed polynomial ring, with uniform bounds on colength, generator count, and generator degree, for which the containment of a trinomial encodes the halting problem.
发表机构
- UiT The Arctic University of Norway（挪威北极大学）
- Otto-von-Guericke-Universität（奥托·冯·格里克大学）
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