关于相对于归一化希尔伯特-施密特范数的几乎可交换矩阵
On almost commuting matrices with respect to the normalized Hilbert--Schmidt norm
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本文针对归一化希尔伯特-施密特范数下的几乎可交换矩阵Rosenthal–Halmos问题，给出了自伴矩阵逼近的误差估计，证明了指数1/3无法改进。
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本文研究相对于归一化希尔伯特-施密特范数‖·‖_{2,d}=d^{-1/2}‖·‖_2的几乎可交换矩阵的Rosenthal–Halmos问题。证明若X、Y为满足‖X‖≤1、‖Y‖≤1的自伴矩阵，则存在可交换自伴矩阵X'、Y'，使得‖X-X'‖_{2,d}+‖Y-Y'‖_{2,d}≤5‖[X,Y]‖_{2,d}^{1/3}且[X,X']=0，且该指数1/3无法改进。
英文摘要
In this paper, we consider the Rosenthal -- Halmos problem of almost commuting matrices with respect to the normalized Hilbert -- Schmidt norm $\|\cdot\|_{2,d}=d^{-1/2}\|\cdot\|_2$. We show that if $X$ and $Y$ are self-adjoint matrices with $\|X\|\le 1$, $\|Y\|\le 1$, then there exist commuting self-adjoint matrices $X',Y'$ such that $\|X-X'\|_{2,d}+\|Y-Y'\|_{2,d}\le 5\|[X,Y]\|_{2,d}^{1/3}$, and $[X,X']=0$. Within these constraints, the exponent $1/3$ cannot be improved.
发表机构
- Michigan State University（密歇根州立大学）
- University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
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