有限域多项式环$\boldsymbol{\text{F}}_q[t]$上短$k$-自由指数和的次凸性
Subconvexity of Short $k$-Free Exponential Sums in $\mathbb{F}_q[t]$
- Purdue University（普渡大学）
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AI总结：
该研究将整数环上的相关指数和研究拓展到有限域多项式环，证明了短$k$-自由指数和$s$阶矩的紧界，并将其应用于得到莫比乌斯扭曲指数和$L^1$均值的下界。
AI中文摘要：
我们将作者近期在整数环$\boldsymbol{\text{Z}}$上的研究工作拓展到有限域多项式环$\boldsymbol{\text{F}}_q[t]$的特征$p$正特征情形。特别地，对$\boldsymbol{\text{F}}_q[t]$中次数为$N$的多项式$F$，令$R_k(\boldsymbol{\text{\textalpha}})$表示次数满足$\text{deg}(f-F)<K$的$k$-自由多项式$f$上的指数和。对任意$s>0$，当$K>(\frac{1}{2}+\boldsymbol{\text{\textepsilon}})N$时，我们证明了$R_k(\boldsymbol{\text{\textalpha}})$的$s$阶矩的紧上界与下界；当$s>1+\frac{1}{k}$时，在更短区间上也成立。作为应用，当$K>(\frac{1}{2}+\boldsymbol{\text{\textepsilon}})N$时，我们证明了$\boldsymbol{\text{F}}_q[t]$上莫比乌斯扭曲指数和的$L^1$均值的阶为$q^{\frac{K}{6}}$的下界。
英文摘要：
We extend recent work of the author over $\mathbb{Z}$ into the positive characteristic setting of $\mathbb{F}_q[t]$. In particular, for a polynomial $F \in \mathbb{F}_q[t]$ of degree $N$, let $R_k(α)$ denote the exponential sum over $k$-free polynomials $f$ with $\text{deg}(f-F)<K$. For all $s>0$, we prove essentially tight upper and lower bounds for the $s$-th moment of $R_k(α)$ whenever $K > (\frac{1}{2}+ε)N$, and in even shorter intervals when $s>1+\frac{1}{k}$. As an application of these results, we prove a lower bound of order $q^{\frac{K}{6}}$ for the $L^1$-mean of the Möbius-twisted exponential sum over $\mathbb{F}_q[t]$ whenever $K >(\frac{1}{2}+ε)N$.
