AI 中文总结
本文针对n≥2维有界Lipschitz区域的Steklov特征值，建立了适用于所有自然数k的两个等径型上界，其中第二个估计解决了文献[5]中的开放问题4.37。
AI 中文摘要
本文针对欧氏空间中n≥2维有界Lipschitz区域Ω的Steklov特征值，建立了适用于所有自然数k的等径型上界，具体为两个不等式：D(Ω)σ_k(Ω)≤C(n)k和D(Ω)σ_k(Ω)≤C(n)k²(|Ω|^(1/n)/D(Ω))^(n/(n-1))，其中C(n)为仅依赖于n的正常数。第一个估计在k的线性依赖关系上是尖锐的，第二个估计在体积-直径比的指数上是尖锐的，且一旦该指数固定，在k的二次依赖关系上也是尖锐的，特别地，第二个估计对文献[5]中的开放问题4.37给出了肯定回答。
英文摘要
In this paper, we establish isodiametric-type upper bounds for Steklov eigenvalues of bounded Lipschitz domains $Ω\subset \mathbb{R}^n$, $n\geq 2$, valid for every $k\in \mathbb{N}$: \[ D(Ω)σ_k(Ω)\leq C(n)k, \] \[ D(Ω)σ_k(Ω)\leq C(n)k^2\left(\frac{|Ω|^{\frac{1}{n}}}{D(Ω)}\right)^{\frac{n}{n-1}}, \] where $C(n)>0$ depends only on $n$. The first estimate is sharp in its linear dependence on $k$, while the second is sharp both in the exponent of the volume-diameter ratio and, once that exponent is fixed, in its quadratic dependence on $k$. In particular, the second estimate gives an affirmative answer to Open Question 4.37 in [5].
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