AI 中文总结
该研究针对Di Nezza-Guedj-Lu提出的扭曲Kähler-Ricci流下局部阿诺德重数的衰减公式，在Hirzebruch曲面等上构造反例证明其失效，还得到纯除子数据的精确曲面公式及相关结果。
AI 中文摘要
设λ(u,x)为准多重次调和函数u的局部阿诺德重数。Di Nezza-Guedj-Lu提出问题：扭曲Kähler-Ricci流的每个极大弱解φ_t是否满足λ(φ_t,x)=max{λ(φ_0,x)-t,0}。我们在Hirzebruch曲面F_e=P_{P^1}(O_{P^1}⊕O_{P^1}(-e))（e≥2）上构造反例：设S为其负截面，F₁,…,F_k为不同纤维，若a,b_i>0、∑b_i>ea且初始流为a[S]+∑b_i[F_i]，则当0<t<min{a,b₁,…,b_k}时，对x∈S∖∪F_i有λ(φ_t,x)=a−min{k/e,1}t，因此该公式在k<e时失效，更慢的衰减由剩余类的扎里斯基负部强制。在明确的SNC与正性假设下，我们还证明了纯除子数据的精确曲面公式，其结果包括固定背景数据下的非局域性及明确乘子理想，与光滑因子的乘积在每个复维数n≥2时均给出反例。
英文摘要
Let $λ(u,x)$ be the local Arnold multiplicity of a quasi-plurisubharmonic function $u$. Di Nezza--Guedj--Lu asked whether every maximal weak solution $φ_t$ of the twisted Kähler--Ricci flow satisfies $λ(φ_t,x)=\max\{λ(φ_0,x)-t,0\}$. We give counterexamples on the Hirzebruch surface $\mathbb F_e=\mathbb P_{\mathbb P^1} (\mathcal O_{\mathbb P^1}\oplus\mathcal O_{\mathbb P^1}(-e))$, $e\ge2$. Let $S$ be its negative section and $F_1,\ldots,F_k$ be distinct fibres. If $a,b_i>0$, $\sum_i b_i>ea$, and the initial current is $a[S]+\sum_i b_i[F_i]$, then $λ(φ_t,x)=a-\min\{k/e,1\}t$ for $x\in S\setminus\bigcup_iF_i$ and $0<t<\min\{a,b_1,\ldots,b_k\}$. Thus the formula fails for $k<e$; the slower decay is forced by the Zariski negative part of the residual class. Under explicit SNC and positivity hypotheses, we also prove an exact surface formula for pure divisorial data. Consequences include nonlocality with fixed background data and explicit multiplier ideals. Products with smooth factors give counterexamples in every complex dimension $n\ge2$.
