发表机构
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
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该研究针对矩形环面上带一个锥形奇点的球度量，确定了奇异 Liouville 方程的解的计数，通过结合已有结果得出不同参数下球度量的存在性与数量，并发展了适用于全参数范围的统一方法。
AI 中文摘要
我们证明，对每个整数 $n\geq2$ 以及 $8\pi(n-1)<\rho<8\pi n$，矩形环面 $E_{\mathrm{i}b}=\mathbb{C}/(\mathbb Z+\mathrm{i} b\mathbb Z)$ 上的奇异 Liouville 方程 $\Delta u+\e^u=\rho\delta_0$ 恰有 $n$ 个解，且所有解均为轴对称的。结合 Chen-Lin 与 Lin-Wang 的已有结果，可推出：1. 只要 $\vartheta$ 是正奇数，$E_{\mathrm{i}b}$ 就不存在角度为 $2\pi\vartheta$ 的锥形奇点的球度量；2. 对每个整数 $n\geq1$，当 $\vartheta\in(2n-1,2n+1)$ 时，$E_{\mathrm{i}b}$ 恰有 $n$ 个角度为 $2\pi\vartheta$ 的锥形奇点的球度量。核心思路是证明线性化方程在轴对称函数空间中仅有平凡解；此前通过 Bol 等周不等式分析结点域的方法仅适用于 $\rho\leq8\pi$ 的情况，我们通过探究其与经典 Lamé 方程单值性的深层联系，为所有 $\rho\in(0,+\infty)\setminus8\pi\mathbb{N}_{\geq1}$ 发展了一种统一方法。
英文摘要
We prove that for every integer $n\geq 2$ and $8π(n-1)<ρ<8πn$, the singular Liouville equation $Δu+\e^u=ρδ_0$ on a rectangular torus $E_{\mathrm{i}b}=\mathbb{C}/(\mathbb Z+\mathrm{i} b\mathbb Z)$ has exactly $n$ solutions, which are all axisymmetric. Together with previous results by Chen-Lin and Lin-Wang, this yields that \begin{itemize} \item $E_{\mathrm{i} b}$ admits no spherical metrics with a conical singularity of angle $2π\vartheta$ as long as $\vartheta$ is a positive odd integer. \item For every integer $n\geq 1$, $E_{\mathrm{i} b}$ admits exactly $n$ spherical metrics with a conical singularity of angle $2π\vartheta$ for each $\vartheta\in (2n-1, 2n+1)$. \end{itemize} The basic idea is to prove that the linearized equation has only trivial solutions in the space of axisymmetric functions. The previous method of analysing nodal domains via Bol's isoperimetric inequality only works for $ρ\leq 8π$. We develop a unified approach for all $ρ\in (0,+\infty)\setminus 8π\mathbb{N}_{\geq 1}$ by exploring the deep connection with the monodromy of the classical Lamé equation.
Comments26 pages
