有限域𝔽_{q²}上一类完全置换四项式的完全刻画

中文摘要 AI 辅助

设𝑞=2ᵐ，𝑄=2ᵏ，且1≤𝑘≤𝑚−1，记𝑥̄=𝑥ᵠ。本文研究有限域𝔽_{q²}上形如𝑓(𝑥)=𝑐₀𝑥^{𝑄+1}+𝑐₁𝑥^𝑄𝑥̄+𝑐₂𝑥𝑥̄^𝑄+𝑐₃𝑥̄^{𝑄+1}（其中𝑐ᵢ∈𝔽_{q²}）的完全置换四项式。当𝑘=1时，Tu等人（《有限域及其应用》第68卷：1-20页，2020年）给出了𝑓为𝔽_{q²}上完全置换多项式（CPP）的充分条件；Chan等人（《有限域及其应用》第110卷：102734页，2026年）后续证明该条件也是必要条件，且在该条件下，𝑓和𝑓+𝑥分别与𝑥²𝑥̄、𝑥²𝑥̄+𝛾𝑥线性等价，其中𝛾∈𝔽_{q²}^*满足ord(𝛾^{q−1})=3。本文证明，当𝑘>1时不存在此类CPP，且Chan等人的已知条件对𝑘=1是完备的，从而完成了对所有满足1≤𝑘≤𝑚−1的𝑄=2ᵏ的刻画。

英文摘要

Let $q=2^m$, $Q=2^k$, and $1\leq k\leq m-1$. We characterize complete permutation polynomials (CPPs) over $\mathbb{F}_{q^2}$ of the form \[ f(x)=c_0x^{Q+1}+c_1x^{Q+q}+c_2x^{qQ+1} +c_3x^{q(Q+1)},\qquad c_i\in\mathbb{F}_{q^2}. \] We prove that no such CPP exists when $k>1$, and recover the known characterization in the cubic case $k=1$. This completes the classification throughout the stated exponent range. The proof uses the known permutation classification to reduce completeness to linear perturbations of product and monomial models. The required nonpermutation results follow from direct elementary arguments based on the quadratic structure over $\mathbb{F}_2$.

发表机构

• Institute of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics（安徽财经大学统计与应用数学学院）
• Department of Mathematics, The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学数学系）

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