不可约结点曲线上对数联络的Weil定理
Weil's Theorem for Logarithmic Connections on Irreducible Nodal Curves
AI总结：
本研究将André Weil经典定理推广至不可约射影结点曲线，证明其上不可分解向量丛或无挠凝聚层存在关于对偶化层的全纯对数联络等价于次数为0，还构造了有理结点三次曲线上的显式单参数平坦联络族。
AI中文摘要：
我们建立了不可约结点曲线上André Weil经典定理的一个类似结果。设\textit{X₀}为一条不可约射影结点曲线。我们证明，\textit{X₀}上的不可分解向量丛或无挠凝聚层\textit{E}存在关于对偶化层的全纯对数联络∇∶\textit{E}→\textit{E}⊗ω_{X₀}当且仅当deg\textit{E}=0。此外，当deg\textit{E}=0时，可选取这样的联络，使得其在正规化上诱导的对数联络在结点的一个原像处具有标量留数\textrm{λ}·\textit{I}，在另一个原像处具有标量留数-λ·\textit{I}，其中λ∈ℂ。作为例证，我们在不可约有理结点三次曲线上构造了显式的单参数平坦联络族。
英文摘要：
We establish an analogue of André Weil's classical theorem for irreducible nodal curves. Let \(X_0\) be an irreducible projective nodal curve. We prove that an indecomposable vector bundle or torsion-free coherent sheaf \(E\) on \(X_0\) admits a holomorphic logarithmic connection \(\nabla\colon E\to E\otimesω_{X_0}\) with respect to the dualizing sheaf if and only if \(°E=0\). Moreover, when \(°E=0\), such a connection can be chosen so that the induced logarithmic connection on the normalization has scalar residues \(λ\cdot I\) at one preimage of the node and \(-λ\cdot I\) at the other, for some \(λ\in\mathbb{C}\). Explicit one-parameter families of flat connections are constructed on the irreducible rational nodal cubic curve as an illustration.
