模函数ω₂(τ)的差，再探
Difference of the modular function $ω_{2}(τ)$, revisited
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本文从算术相交理论视角，对Roskam、Yang与Yin分别用不同方法证明的二级Weber奇异模之差的范数公式给出新证明。
中文摘要 AI 辅助
借鉴Gross与Zagier的分析方法，Roskam证明了二级Weber奇异模之差的范数的素因子分解公式；Yang与Yin则利用Borcherds提升独立得到等价公式。该公式针对互素的负基本二次判别式d₁、d₂≡1 mod 8，涉及ω₂((-1+√d₁)/2)与ω₂((-1+√d₂)/2)之差的范数，其中ω₂(τ)=2¹²·η(2τ)²⁴/η(τ)²⁴，η(τ)为戴德金η函数。本文从算术相交理论视角重新审视该公式并给出新证明。
英文摘要
Adapting the analytic method of Gross and Zagier, Roskam proved a prime-factorization formula for the norm of the difference of two level-two Weber singular moduli. Independently, Yang and Yin obtained an equivalent formula using Borcherds lifts. More precisely, the formula concerns the norm of \[ ω_{2}\left(\frac{-1+\sqrt{d_{1}}}{2}\right) - ω_{2}\left(\frac{-1+\sqrt{d_{2}}}{2}\right) \] for coprime negative fundamental quadratic discriminants $d_{1},d_{2}\equiv1\pmod 8$, where \[ ω_{2}(τ) = 2^{12}\frac{η(2τ)^{24}}{η(τ)^{24}}, \] and $η(τ)$ denotes the Dedekind eta function. In this work, we revisit this formula from the perspective of arithmetic intersection theory and give a new proof.
发表机构
- University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
- Beijing Normal–Hong Kong Baptist University, Zhuhai（北京师范大学-香港浸会大学联合国际学院）
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