非Brjuno集的精确对数Hausdorff指数与容量指数

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设$\u2110$为非Brjuno实数构成的集合。本文确定了该集合在对数Hausdorff测度与对数容量下的精确临界指数。对于规范函数$h_δ(r)=(\u2009\rm log(1/r))^{-δ}$，临界指数为2：当$0<δ≤2$时，$h_δ$-Hausdorff测度局部无穷；当$δ>2$时，该测度全局为零；而对数容量恰好在阶数$0<s≤2$时为正。特别地，$\u2110$的容量维数$\rm dim_{cap}\u2110=2$。

英文摘要

Let $\mathcal{N}$ be the set of non-Brjuno real numbers. We determine the exact critical exponent of $\mathcal{N}$ for both logarithmic Hausdorff measure and logarithmic capacity. For the gauges $h_δ(r)=(\log(1/r))^{-δ}$, the critical exponent is $2$: the $h_δ$-Hausdorff measure is infinite locally for $0<δ\leq2$ and vanishes globally for $δ>2$, while the logarithmic capacity is positive exactly for orders $0<s\leq2$. In particular, $\dim_{\mathrm{cap}}\mathcal{N}=2$.

发表机构

• National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek（乌兹别克斯坦国立大学（米尔佐·乌鲁伯格命名））
• V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan（乌兹别克斯坦共和国科学院 V.I. 罗曼诺夫斯基数学研究所）

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