发表机构
Brigham Young University; The Ohio State University; Oklahoma State University; University of California San Diego; Xiamen University; University of Vienna（杨百翰大学; 俄亥俄州立大学; 俄克拉荷马州立大学; 加州大学圣地亚哥分校; 厦门大学; 维也纳大学）
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本文研究两复变量的三次有理球面映射，确定其分母的可允许参数范围，利用Gram矩阵方法推导相关性质并推广至任意源维数，得到该类映射存在的一般充分条件。
AI 中文摘要
我们研究两个复变量中的三次有理球面映射。经标准归一化后，这类映射的分母形如 $g_\sigma(z)=1+\sigma_1 z_1^2+\sigma_2 z_2^2$，其中 $\sigma_1,\sigma_2\geq0$。一个基本问题是：哪些对 $(\sigma_1,\sigma_2)$ 可作为三次有理球面映射的分母？本文首个主要结果给出了完整答案：这类分母存在当且仅当 $0\leq\sigma_1,\sigma_2<1$ 且 $\sqrt{1-\sigma_1^2}+\sqrt{1-\sigma_2^2}>1$。我们的方法将球面映射条件转化为有限维Gram矩阵正性问题。此外，对每个可允许参数 $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)$，我们确定了对应分母 $g_\sigma$ 可实现的所有最小目标维数；还给出了固定分母的映射的Gram矩阵标准型，并对每个可允许的 $\sigma$，计算了实现 $g_\sigma$ 的有理球面映射等价类的模空间维数。最后，我们将Gram矩阵方法推广到任意源维数，得到了三次有理球面映射存在的一般充分条件。
英文摘要
We study degree-three rational sphere maps in two complex variables. After a standard normalization, the denominator of such a map takes the form \[ g_σ(z)=1+σ_1 z_1^2+σ_2 z_2^2, \qquad σ_1,σ_2\geq 0. \] A basic question is: which pairs $(σ_1,σ_2)$ can actually occur as the denominator of a degree-three rational sphere map? The first main result of the paper gives a complete answer: such a denominator occurs if and only if \[ 0\leq σ_1,σ_2<1, \qquad \sqrt{1-σ_1^2}+\sqrt{1-σ_2^2}>1. \] Our approach converts the sphere-mapping condition into a finite-dimensional Gram-matrix positivity problem. Furthermore, for each admissible parameter $ σ=(σ_1,σ_2), $ we determine all possible minimal target dimensions in which the corresponding denominator $g_σ$ can be realized. We also give a Gram-matrix normal form for maps with a fixed denominator and compute, for each admissible $σ$, the dimension of the moduli space of equivalence classes of rational sphere maps realizing $g_σ$. Finally, we extend the Gram-matrix method to arbitrary source dimension and obtain a general sufficient condition for the existence of degree-three rational sphere maps.
