有理数域上多项式的有理预周期点的平均数量
The average number of rational preperiodic points of polynomials over $\mathbb{Q}$
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该研究针对有理数域上特定条件的多项式，证明了不同次数下其有理预周期点平均数量的上界，其中二次多项式的上界为最优界。
中文摘要 AI 辅助
设$M_d(X)$表示系数$z^{d-1}$为零、常数项为1且高度不超过$X$的$d$次有理数域上多项式中，有理预周期点的平均数量。我们证明，对每个整数$d\ge3$和每个实数$C>4\sqrt{2}$，$M_d(X) \ll_d X^{-1} \exp(C\sqrt{\log X / \log \log X})$；对于$d=2$，我们证明最优界$M_2(X)\ll X^{-1}$。
英文摘要
Let $M_d(X)$ denote the average number of rational preperiodic points among degree-$d$ polynomials over $\mathbb{Q}$ with vanishing $z^{d-1}$ coefficient, constant term $1$, and height at most $X$. We prove that, for every integer $d\ge2$, $M_d(X) \sim γ_d X^{-1}$ for an explicit constant $γ_d>0$. For $d\ge4$, the error term is $O_{d,\varepsilon}(X^{-2+\varepsilon})$ for every $\varepsilon>0$; for $d=3$ the error term is $O(X^{-3/2})$; and for $d=2$ the error term is $O(X^{-3/2}\log X)$.
发表机构
- Ajou University（亚洲大学）
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