将随机化度量失真改进至2.3282

中文摘要 AI 辅助

在度量社会选择中，每个投票者根据未知度量空间中与m个候选人的距离对其进行排序，候选人的代价为其到所有投票者的平均距离。随机化投票规则仅利用排序信息选择候选人上的彩票，其失真为该规则返回的彩票期望代价与最优候选代价的最坏情况比值。Charikar、Ramakrishnan、Wang和Wu（JACM 2024）证明了上界为2.753，确定了其与确定性规则的常数差距——确定性规则的最优可达失真为3。独立地，Frank（arXiv:2608.17863）和Ye（arXiv:2608.21202）通过最大彩票（maximal lottery）与集成否决（Integrated Veto）的等比例混合，将该边界改进至2.5；现有论证无法通过这两种规则的任何混合得到更优边界。我们引入新要素——随机规模稳定彩票（random-size stable lottery）突破了这一壁垒。设D为正整数域上的随机变量，随机规模稳定彩票RSL_D保证：随机投票者偏好任意固定候选人c胜过其从RSL_D中独立同分布抽取的D个最喜欢候选人中任意一个的概率不超过E[1/(D+1)]，该概率同时对D取平均。当D为确定值k时，该彩票退化为Charikar、Ramakrishnan、Tan和Wang（EC 2025）提出的稳定k-彩票；k=1时恰好是最大彩票。他们针对固定k的极小极大论证可直接推广至随机D。我们的主要贡献是证明了关于随机D的稳定性可用于界定失真，通过将适当选择的随机规模稳定彩票与集成否决混合，得到失真不超过11641/5000=2.3282。该证明结合了无限维锥线性规划对偶、启发式非线性优化以及通过伯恩斯坦基的精确有理验证。

英文摘要

In metric social choice, voters rank candidates by their distances in an unknown metric space. A voting rule uses these rankings to select a candidate or a lottery over candidates, aiming to minimize the average distance to voters. Distortion measures the worst-case approximation ratio. While the best distortion of deterministic rules is $3$, prior work pins down the best distortion of randomized rules to $[2.1126,2.5]$. We improve the upper bound to $2.1441$, closing over $90\%$ of this gap. The proof introduces random-size stable lotteries, proves their existence, and derives the new bound through a potential argument. All the proofs were obtained using GPT-5.6-Sol with significant guidance from the author, who verified them and simplified the exposition.

发表机构

• University of Toronto（多伦多大学）

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