发表机构
Soochow University; University of Texas at Arlington（苏州大学; 阿灵顿得克萨斯大学）
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本文研究埃尔米特矩阵非对角块扰动的酉不变范数界，扩展了Li等人的谱范数界，证明该扩展对Q-范数及秩不超过1的矩阵E的所有酉不变范数成立。
AI 中文摘要
设 $$ A=\begin{bmatrix} H_1 & E^* \\\\ E & H_2 \end{bmatrix} \quad\text{and}\quad \widetilde A=\begin{bmatrix} H_1 & 0 \\\\ 0 & H_2 \end{bmatrix} $$ 是两个分块埃尔米特矩阵，其中 \\( \widetilde A \\) 是通过直接去除 \\( A \\) 的非对角块得到的，设 \\( \eta \\) 为 \\( H_1 \\) 的谱 \\( {\rm eig}(H_1) \\) 与 \\( H_2 \\) 的谱 \\( {\rm eig}(H_2) \\) 之间的间隙。对 \\( \delta\ge 0 \\) 和 \\( \epsilon\ge 0 \\)，定义 $$ \phi(\delta,\epsilon)= \begin{cases} 2\epsilon/(\delta+\sqrt{\delta^2+4\epsilon^2}), &\quad\mbox{若 $(\beta,\epsilon)\ne (0,0)$}, 1, &\quad\mbox{若 $(\delta,\epsilon) = (0,0)$}, \end{cases} $$ 并令 \\( V=A-\widetilde A \\)，\\( \epsilon_2=\\|E\\|_2=\\|V\\|_2 \\)，即矩阵的谱范数。Li 和 Li [《线性代数应用》，395:183--190，2005] 建立了关于 \\( A \\) 的特征值变化的精确谱范数界：$$ \big\\|{\rm diag}\big(\pmb{\lambda}(A)-\pmb{\lambda}(\widetilde A)\big)\big\\|_2 \le \phi(\eta,\epsilon_2)\\,\\|E\\|_2, $$ 其中 \\( \pmb{\lambda}(A) \\) 是其分量为 \\( A \\) 的特征值按降序排列的向量，\\( \pmb{\lambda}(\widetilde A) \\) 同理。本文的目标是解决如下问题：以 $$ \big\\|{\rm diag}\big(\pmb{\lambda}(A)-\pmb{\lambda}(\widetilde A)\big)\big\\|_{\rm UI} \le \phi(\eta,\epsilon_2)\\,\\|A-\widetilde A\\|_{\rm UI} $$ 形式对部分或所有酉不变范数 \\( \\|\cdot\\|_{\rm UI} \\) 扩展该结果的有效性能达到何种程度？得到两个结果：(a) 该扩展对任意 Q-范数成立，Q-范数是酉不变范数的一个子类，包含 \\( 2\le p\le\infty \\) 时的 Schatten p-范数（特别地，包括 Frobenius 范数和谱范数）；(b) 若 \\( {\rm rank}(E)\le 1 \\)，则该扩展对任意酉不变范数成立。文中证明该等式在 \\( 2\times 2 \\) 矩阵 \\( A \\) 上可达。
英文摘要
Let $$ A=\begin{bmatrix} H_1 & E^* \\ E & H_2 \end{bmatrix} \quad\text{and}\quad \widetilde A=\begin{bmatrix} H_1 & 0 \\ 0 & H_2 \end{bmatrix} $$ be partitioned Hermitian matrices, with $\widetilde A$ obtained by dropping the off-diagonal blocks of $A$. Let $η$ be the minimum distance between the spectra of $H_1$ and $H_2$; these spectra may interlace. Define, for $δ,ε\ge0$, $$ ϕ(δ,ε)= \begin{cases} 2ε/(δ+\sqrt{δ^2+4ε^2}), &\quad\mbox{if $(δ,ε)\ne (0,0)$}, 1, &\quad\mbox{if $(δ,ε) = (0,0)$}, \end{cases} $$ and let $\widetilde E=A-\widetilde A$ and $ε_2=\|E\|_2=\|\widetilde E\|_2$, the matrix spectral norm. Li and Li [\emph{Linear Algebra Appl.}, 395:183--190, 2005] established a sharp spectral-norm bound on the changes in the eigenvalues of $A$: $$ \big\|\mathrm{diag}\big(\pmbλ(A)-\pmbλ(\widetilde A)\big)\big\|_2 \le ϕ(η,ε_2)\,\|E\|_2, $$ where $\pmbλ(A)$ is the vector whose components are the eigenvalues of $A$ in descending order and similarly for $\pmbλ(\widetilde A)$. In this paper, this bound is extended to every unitarily invariant norm $\|\cdot\|_\mathrm{ui}$: $$ \big\|\mathrm{diag}\big(\pmbλ(A)-\pmbλ(\widetilde A)\big)\big\|_\mathrm{ui} \le ϕ(η,ε_2)\,\|A-\widetilde A\|_\mathrm{ui}. $$ A $2\times2$ example attains equality for every such norm. An analogous bound for singular values is also established when the off-diagonal blocks of a rectangular matrix are dropped.
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