论多变量中的加权形式
On weighted forms in many variables
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中文总结 AI 辅助
本文利用圆法研究加权射影空间中超曲面上的积分点个数，推导了其渐近公式，并验证了足够大维数加权射影空间中拟光滑超曲面的整数哈塞原理。
中文摘要 AI 辅助
本文引入了几种利用圆法的新方法，以获取加权射影空间中某超曲面上有界高度积分点个数的渐近公式。设 $F(\mathbf{x}; \mathbf{y})$ 为给定的 $d$ 次加权形式，变量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{s_1}$、$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{s_2}$，其中变量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的权重分别为 $w_1$ 和 $w_2$，满足 $w_1 < w_2$、$(w_1, w_2)=1$ 且 $d > w_1 w_2$。记 $R_F(P) := \\#\left\{(\mathbf{x}; \mathbf{y}) \in \mathbb{Z}^{s_1+s_2}: F(\mathbf{x}; \mathbf{y})=0, |\mathbf{x}| \leq P^{w_1 / d}, |\mathbf{y}| \leq P^{w_2 / d}\right\}$。特别地，证明了当 $s_1+s_2-\sigma_F > \left(1+\frac{w_2}{w_1}\right) \frac{d}{w_1} 2^{d / w_1}$（其中 $\sigma_F$ 为 $F$ 的仿射奇异轨迹的维数）时，$R_F(P)$ 具有预期的渐近公式，即 $R_F(P)=c P^{s_1 w_1 / d+s_2 w_2 / d-1} + o\left(P^{s_1 w_1 / d+s_2 w_2 / d-1}\right)$，式中 $c$ 为局部密度的乘积。此外，当 $F(\mathbf{x}; \mathbf{y})=0$ 在 $\mathbb{R}$ 及所有素数 $p$ 对应的 $\mathbb{Q}_p$ 上均存在非奇异解时，常数 $c$ 为正。作为推论，验证了在足够大维数的加权射影空间中，由 $F(\mathbf{x}; \mathbf{y})=0$ 定义的拟光滑超曲面的整数哈塞原理成立。
英文摘要
In this paper, we introduce several novel approaches utilizing the circle method to obtain the asymptotic formula for the number of integral points of bounded height lying on a hypersurface in a weighted projective space. Let $F(\mathbf{x} ; \mathbf{y})$ be a given weighted form of degree $d$ in variables $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{s_1}$ and $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{s_2}$, where variables $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ have weights $w_1$ and $w_2$ with $w_1<w_2,\left(w_1, w_2\right)=1$, and $d>w_1 w_2$. Write $$ R_F(P):=\#\left\{(\mathbf{x} ; \mathbf{y}) \in \mathbb{Z}^{s_1+s_2}: F(\mathbf{x} ; \mathbf{y})=0,|\mathbf{x}| \leq P^{w_1 / d},|\mathbf{y}| \leq P^{w_2 / d}\right\} . $$ In particular, we show that whenever $$ s_1+s_2-σ_F>\left(1+\frac{w_2}{w_1}\right) \frac{d}{w_1} 2^{d / w_1}, $$ where $σ_F$ is the dimension of the affine singular locus of $F$, the quantity $R_F(P)$ has the expected asymptotic formula, that is $$ R_F(P)=c P^{s_1 w_1 / d+s_2 w_2 / d-1}+o\left(P^{s_1 w_1 / d+s_2 w_2 / d-1}\right), $$ where $c$ is the product of local densities. Furthermore, the constant $c$ is positive whenever $F(\mathbf{x} ; \mathbf{y})=0$ has a nonsingular solution over $\mathbb{R}$ and $\mathbb{Q}_p$ for every prime $p$. As a corollary, we verify the integral Hasse principle for the quasi-smooth hypersurface defined by $F(\mathbf{x} ; \mathbf{y})=0$ in a weighted projective space of sufficiently large dimensions.
发表机构
- Rice University（莱斯大学）
- University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
