AI 中文总结
该研究证明了考克斯特群的扭转猜想，结合前期工作解决了考克斯特群的同构问题，还得出考克斯特群的自同构群有限生成的推论，未使用人工智能开展研究。
AI 中文摘要
我们证明了米尔赫（Mühlherr）的扭转猜想：考克斯特群的任意两个角度兼容的考克斯特生成集，可通过有限次基本扭转和一次共轭变换得到。结合豪利特-米尔赫（Howlett-Mühlherr）及马基斯-米尔赫（Marquis-Mühlherr）的前期工作，这完整解决了考克斯特群的同构问题。另一推论是，对任意考克斯特群$W$，其自同构群${\rm Aut}(W)$是有限生成的，且存在一种算法，可从任意考克斯特矩阵出发，生成${\rm Aut}(W)$的有限生成元集。在扭转猜想的大量文献中，我们仅核心用到两项结果：卡普雷斯（Caprace）和米尔赫证明的2-球形考克斯特系统的强刚性，以及卡普雷斯和普热伊茨基（Przytycki）为扭转刚性情形开发的标记与分层框架。我们还从根本上利用了JSJ理论的一些软思想，以及米哈尔克-灿茨（Mihalik-Tschantz）关于考克斯特群分裂的一项观察。本手稿的撰写及所呈现的研究均未使用任何形式的人工智能。
英文摘要
We prove Mühlherr's Twist Conjecture: any two angle-compatible Coxeter generating sets of a Coxeter group differ by a finite sequence of elementary twists and a conjugation. Combined with earlier work of Howlett-Mühlherr and Marquis-Mühlherr, this completes the resolution of the Isomorphism Problem for Coxeter groups. A further consequence is that ${\rm Aut}(W)$ is finitely generated for every Coxeter group $W$, and there is an algorithm producing a finite set of generators for ${\rm Aut}(W)$ starting from any Coxeter matrix. Of the vast literature on the Twist Conjecture, we utilise only two results in an essential way: strong rigidity of $2$--spherical Coxeter systems, due to Caprace and Mühlherr, and the framework of markings and hierarchies developed by Caprace and Przytycki for the twist-rigid case. We also exploit in a fundamental way some soft ideas from JSJ theory and an observation of Mihalik-Tschantz on splittings of Coxeter groups. No form of AI was used in the writing of this manuscript, nor in the research that it presents.
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