AI 中文总结
该研究针对环面$\top^n$上最高阶非线性项标度临界维为$-1/k$的一类非线性热方程，利用满足特定谱间隙不等式的随机场初始条件，建立了局部适定性，其次临界条件与低维高斯自由场匹配，且证明无需图示论证。
AI 中文摘要
当初始条件为满足涉及合适勒贝格范数的谱间隙不等式的随机场时，我们在环面$\boldsymbol{\top}^n$上为一类非线性热方程建立了局部适定性，其最高阶非线性项具有标度临界维$-1/k$（$k$为自然数）。对应的次临界条件与$d<2+2/k$维下的高斯自由场匹配，这将先前的次临界适定性结果扩展到了高斯情形之外，且我们的证明更简洁，避免了图示论证。
英文摘要
We establish local well-posedness for a class of non-linear heat equations on the torus $\mathbb{T}^n$ whose highest order non-linearities have scaling-critical dimension $-1/k, \, k\in \mathbb{N}$, when the initial condition is a random field satisfying a spectral gap inequality involving a suitable Lebesgue norm. The corresponding subcriticality condition matches that of the Gaussian free field in dimension $d<2+2/k$. This extends previous subcritical well-posedness results beyond the Gaussian setting. Moreover, our proof is simpler and avoids diagrammatic arguments.
Comments41 pages
