关于一个新的函数恒等式及相关级数变换的注记
Notices on a new functional identity and allied series transformations
中文总结 AI 辅助
本文建立了一个新的初等函数恒等式，其可作为经典魏尔斯特拉斯θ恒等式的原型，并将其应用得到有限和的一般变换公式，还给出了特殊的代数、三角及椭圆级数变换。
中文摘要 AI 辅助
本文基于满足f(x,a)g(b,c)+f(x,b)g(c,a)+f(x,c)g(a,b)=0的一对函数f(x,y)和g(x,y)，建立了初等函数恒等式：∑(k=1到n)[f(a,d_k)/f(a,x)]^(n-1)∏(i=1,i≠k到n)g(x,d_i)/g(d_k,d_i)=1，该恒等式可作为经典魏尔斯特拉斯θ恒等式的原型。作为直接应用，本文建立了有限和的一般变换公式，还给出了一些特殊的代数、三角及椭圆级数变换。
英文摘要
In this paper, we establish an elementary functional identity \begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\bigg(\frac{f(a,d_k)}{f(a,x)}\bigg)^{n-1}\prod_{i=1,i \neq k}^{n} \frac{g(x,d_i)}{g(d_k,d_i)}=1\end{align*} based on a pair of functions $f(x, y)$ and $g(x,y)$ satisfying $$f(x, a) g(b, c)+f(x, b) g(c, a)+f(x, c) g(a, b)=0.$$ The latter may serve as a prototype for the classical Weierstrass theta identity. As a direct application, we establish a general transformation formula for finite sums. Some special algebraic, triangular and elliptic series transformations are also presented.
