分数阶薛定谔方程的Strichartz估计
Strichartz estimates to fractional Schrödinger equations
AI总结：
该论文针对分数阶薛定谔方程研究Strichartz估计，给出对应 $(q,r)=(2,\infty)$ 的反例，还明确了相关空间嵌入的充要条件。
AI中文摘要：
本文首先研究Strichartz估计 $\\|e^{it D^\alpha} u_0\\|_{L_t^q(\mathbb{R};L_x^r(\mathbb{R}^d))}\leq C(d,\alpha,q,r,s)\\|u_0\\|_{\dot{H}^s}$，给出 $(q,r)=(2,\infty)$ 对应的反例；接着考虑嵌入 $X^{s,b}_\alpha \hookrightarrow L_t^q(\mathbb{R};L_x^r(\mathbb{R}^d))$，其中 $\\|u\\|_{X_\alpha^{s,b}}:=\\|\langle\xi\rangle^s\langle \tau-|\xi|^\alpha\rangle^b\hat{u}(\tau,\xi)\\|_{L^2_{\tau,\xi}}$，并给出该嵌入的充要条件。
英文摘要：
In this paper, we firstly study Strichartz estimates $\|e^{it D^α} u_0\|_{L_t^q(\mathbb{R};L_x^r(\mathbb{R}^d))}\leq C(d,α,q,r,s)\|u_0\|_{\dot{H}^s}.$ We show some counterexamples for $(q,r) = (2,\infty)$. Then we consider the embedding $X^{s,b}_α\hookrightarrow L_t^q(\mathbb{R};L_x^r(\mathbb{R}^d))$, where $\|u\|_{X_α^{s,b}}:=\|\langleξ\rangle^s\langle τ-|ξ|^α\rangle^b\hat{u}(τ,ξ)\|_{L^2_{τ,ξ}}$. We present the necessary and sufficient conditions for this embedding.
