AI 中文总结
该研究探讨Hirzebruch曲面的orbifold退化，通过证明其为环面曲面的部分光滑化，结合三维极小模型程序等，分类了不同k值下的中心纤维及对应奇点，补充了反典范除子丰富情形的相关工作。
AI 中文摘要
我们研究Hirzebruch曲面的orbifold退化。我们的主要定理表明，每一个此类退化X都作为一个环面曲面的部分光滑化而产生。随后，我们对当−K_X非nef时出现的奇点给出组合描述，这补充了我们与G. Urzúa之前的合作工作，该工作处理了−K_X丰富的情形。对于k≥3的Hirzebruch曲面𝔽_k，我们得到了所有可能的中心纤维的明确描述；对于k≤1，我们运用三维极小模型程序将问题简化为反典范除子为nef的中心纤维的情形，剩余的曲面是具有T奇点的次数为8的环面del Pezzo曲面，我们通过研究Fano多边形突变产生的双有理几何对这些曲面进行分类。
英文摘要
We study orbifold degenerations of Hirzebruch surfaces. Our main theorem shows that every such degeneration $X$ arises as a partial smoothing of a toric surface. We then give a combinatorial description of the singularities that arise when $-K_X$ is not nef. This complements previous joint work with G. Urzúa, which treated the case in which $-K_X$ is ample. For Hirzebruch surfaces $\mathbb{F}_k$ with $k\geq 3$, we obtain an explicit description of all possible central fibers. For $k\leq 1$, we use the threefold minimal model program to reduce the problem to the case of central fibers whose anticanonical divisor is nef. The remaining surfaces are toric del Pezzo surfaces of degree $8$ with T-singularities. We classify these by studying the birational geometry arising from mutations of Fano polygons.
Comments47 pages
