$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 上的矩阵毕达哥拉斯方程
The Matrix Pythagorean Equation over $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$
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中文总结 AI 辅助
本文研究 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 上矩阵毕达哥拉斯方程的有序解，利用其符号对称性约简解集，确定了迹非负子集 $\mathcal{M}$ 在同时整共轭下的典范轨道分解。
中文摘要 AI 辅助
本文研究 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 上矩阵毕达哥拉斯方程 $X^2+Y^2=Z^2$ 的有序解。利用方程的独立符号对称性，我们首先将全部解集约简为迹非负子集 $\mathcal{M}$，该子集包含所有三个迹均非负的解。随后我们确定了 $\mathcal{M}$ 在同时整共轭下的典范分解为轨道。
英文摘要
In this paper, we study the ordered solutions of the matrix Pythagorean equation $X^2+Y^2=Z^2$ over $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ . Exploiting the independent sign symmetry of the equation, we first reduce the full solution set to the trace-nonnegative subset $\mathcal M$, consisting of those solutions for which all three traces are nonnegative. We then determine a canonical decomposition of $\mathcal M$ into orbits under simultaneous integral conjugacy.
