超算术方向对Marstrand投影定理而言均可为例外情形
Hyperarithmetic directions can all be exceptional for Marstrand's projection theorem
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中文总结 AI 辅助
该研究构造了豪斯多夫维数1的Π⁰₂平面子集，证明所有超算术方向的投影均为例外情形，进而指出α-随机不保证投影定理的几乎所有陈述。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了存在欧氏平面的一个Π⁰₂子集B，其豪斯多夫维数为1，使得对每条过原点且方向为超算术的直线ℓ，B在ℓ上的投影的豪斯多夫维数为0，因此是Marstrand投影定理的例外情形。由此可得，对任意可计算序数α，α-随机并不保证投影定理的“几乎所有”陈述成立。
英文摘要
We show that there is a $Π^0_2$ subset $B$ of the Euclidean plane, of Hausdorff dimension 1, such that for every line $\ell$ through the origin with hyperarithmetic direction, the projection of $B$ onto $\ell$ has Hausdorff dimension 0, thus is exceptional for Marstrand's projection theorem. It follows that for any computable ordinal $α$, being $α$-random does not guarantee the ``almost-all'' statement of the projection theorem.
