二维含电磁场势且零能处存在障碍的薛定谔算子的衰减估计
Dispersive decay for the Nonlinear magnetic Schrödinger equation
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中文总结 AI 辅助
该研究证明二维含电磁场势且零能处有障碍的薛定谔算子的衰减估计，按零能类型建立对应色散或衰减速率非$t^{-1}$的估计，通过预解式展开与积分估计完成。
中文摘要 AI 辅助
本文首次证明了二维欧氏空间$\boldsymbol{\text{R}}^2$中，当含电磁场势的薛定谔算子在零能处存在障碍（即特征值或共振）时的衰减估计。具体而言，当零能为正则点或第一类共振点时，我们建立了$L^1\rightarrow L^\text{\text{infty}}$色散估计；对于其他情形，即零能为第二类或第三类共振时，我们证明了衰减速率非$t^{-1}$的衰减估计。为实现这一目标，我们分别推导了当0属于正则点及三类共振点这四种不同类型时，带磁势的预解式的展开式，随后对预解式和振荡积分进行估计，以建立衰减结果。
英文摘要
In this paper, we obtain the dispersive estimates and global well-posedness of the nonlinear magnetic Schrödinger equation in $\mathbb{R}^{3}$ with nonlinearity $|u|^{p-1}u$ with exponent $\frac{5}{3}< p<5$ when the initial value stays in a suitable space $Σ_{s}$. By proving the resolvent estimates with weight functions and the \textquotedblleft almost equivalence\textquotedblright between $(-Δ_{A})^{\frac{s}{2}}$ and $(-Δ)^{\frac{s}{2}}$, we obtain the Strichartz estimates of $|J_{A}(t)|^{s}u:=e^{\frac{i|x|^{2}}{4t}}(-t^{2}Δ_{A})^{\frac{s}{2}}e^{\frac{-i|x|^{2}}{4t}}u$, therefore the dispersive decay estimates are obtained.
