SL₂(ℤ[1/n]) 的整同调群
The integral homology of $\text{SL}_2(\mathbb{Z}[1/n])$
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本论文针对在几何群论等领域有重要意义的 SL₂(ℤ[1/n]) 的整同调群，利用其在相关树乘积上作用导出的谱序列展开研究。
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令 ℤ[1/n] := {a/n^r | a ∈ ℤ, r ∈ ℤ≥0} 为整数环 ℤ 在 n 处局部化得到的欧几里得整环；SL₂(ℤ[1/n]) 是所有元素属于 ℤ[1/n]、行列式为 1 的可逆二阶矩阵构成的群。同调群 Hₖ(SL₂(ℤ[1/n]), ℤ) 在几何群论、代数数论与代数 K-理论中具有重要意义。本论文通过 SL₂(ℤ[1/n]) 在与 ℚ 的 p进赋值相关的树 Bₚ（其中 p 为 n 的素因子）乘积上的作用导出的谱序列，对这些同调群展开研究。
英文摘要
Let $\mathbb{Z}[1/n] := \{a/n^r: a \in \mathbb{Z},r \in \mathbb{Z} \geq 0\}$ be the euclidean domain obtained from the ring of integers $\mathbb{Z}$ by localizing at $n$. Moreover, let $\text{SL}_2(\mathbb{Z}[1/n])$ be the group of all invertible 2-by-2 matrices of determinant one with entries in $\mathbb{Z}[1/n]$. The homology groups $H_k(\text{SL}_2(\mathbb{Z}[1/n]),\mathbb{Z})$ are of interest in Geometric Group Theory, Algebraic Number Theory and Algebraic K-theory. In this dissertation, we study these groups via a spectral sequence derived by the action of $\text{SL}_2(\mathbb{Z}[1/n])$ on the product of the trees $B_p$ associated with the $p$-adic valuation on $\mathbb{Q}$ where $p$ is a prime factor of $n$.
