里奇下界下的共形边界形变：特征值反例与面积障碍
Conformal Boundary Deformations under Ricci Lower Bounds: Eigenvalue Counterexamples
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中文总结 AI 辅助
该研究在所有维数$n+1\geq3$中构造反例，反驳了里奇下界与边界凸性条件下边界第一非零拉普拉斯特征值下界的断言，还研究了边界面积猜想相关的共形形变性质。
中文摘要 AI 辅助
设$(M^{n+1},g)$为带边界的紧致黎曼流形。在$\text{Ric}_g\bg\geq ng$且$\text{II}_g\bg\geq0$的条件下，Choi-Wang-Reilly估计的一个严格强化版本断言：边界的第一个非零拉普拉斯特征值至少为$n$。我们在所有维数$n+1\bg\geq3$中反驳该断言。更准确地说，我们在半球$\text{Sph}^{n+1}_+$上构造一列度量，其在$C^\bg\infty$拓扑下收敛于圆度量，且满足$\text{Ric}_g\bg>ng$、$\text{II}_g\bg>0$、$\bg\lambda_1(\bg\partial\text{Sph}^{n+1}_+,g|_{\bg\partial\text{Sph}^{n+1}_+})\bg<n$。该构造始于Zhu的无穷小共形形变，它降低第一个边界特征空间的一个分支，同时在一阶近似下保持归一化里奇下界。我们添加球面高度函数的倍数，该模式在赤道上消失，属于线性化归一化里奇张量的核，并使外法向导数发生常数变化，因此在保持诱导边界度量和一阶里奇不等式不变的同时，使边界严格凸。二次常数重标度可恢复精确里奇界，且不会破坏一阶特征值的降低。我们还研究了在$\text{Ric}\bg\geq0$且$\text{II}\bg\bg\geq g|_{\bg\partial M}$条件下的边界面积猜想。对于满足相应一阶里奇和凸性不等式的欧氏球共形形变，我们得到Hui-Hsien Wang的尺度不变边界凸性泛函的右一阶变分的定量非正上界，等式仅在仿射无穷小共形因子处成立。特别地，近期对Escobar的Steklov猜想的共形反例在一阶近似下严格偏离违反边界面积猜想的情形。
英文摘要
Let $(M^{n+1},g)$ be a compact Riemannian manifold with boundary. Under the assumptions $\Ric_g\geq ng$ and $\II_g\geq0$, Wang proposed a sharp strengthening of the Choi--Wang--Reilly estimate, asserting that the first nonzero Laplace eigenvalue of the boundary is at least $n$; see [J. Geom. Anal. 31 (2021)]. We disprove this assertion in every dimension $n+1\geq3$. More precisely, we construct a sequence of metrics on the hemisphere $\Sph^{n+1}_{+}$ converging in $C^\infty$ to the round metric and satisfying \[ \Ric_g>n g,\qquad \II_g>0,\qquad λ_1(\partial\Sph^{n+1}_{+},g|_{\partial\Sph^{n+1}_{+}})<n. \] The construction starts from Zhu's infinitesimal conformal deformation, which lowers one branch of the first boundary eigenspace while preserving the normalized Ricci lower bound to first order. We add a multiple of the spherical height function.
