长度为4的路径的彩虹Turán数
Rainbow Turán numbers for paths of length four
- Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学）
- Jagiellonian University（雅盖隆大学）
- AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
该研究针对不包含P₅彩虹副本的k个图的边数最大化问题，分别对两类目标的不同k值情况给出了精确结果、渐近值及猜想，还解决了k=4时附加完备性假设的情况。
AI中文摘要：
给定包含n个顶点的集合V和整数k≥1，我们的目标是最大化定义在V上的图G₁,G₂,…,Gₖ的边数，约束条件是所有图的并集作为多重图时，不包含5个顶点的路径P₅的彩虹副本，即每条边属于不同Gᵢ的P₅副本。我们考虑该问题的两个版本，分别是最大化∑ᵢe(Gᵢ)和最大化minᵢe(Gᵢ)。在前一版本中，我们对所有k≤n-1的情况（以及P₄的情况）精确确定了最大值；在后一版本中，我们针对k∈{5,6,9}的情况得到了渐近值，并对k的其他所有值提出了非常合理的猜想。我们还解决了k=4时的问题，但附加了完备性的假设。
英文摘要：
Given a set $V$ of $n$ vertices and an integer $k\ge1$, our goal is to maximize the number of edges in graphs $G_1, G_2, \ldots, G_k$, defined on $V$, under the constraint that the union of all graphs, thought of as a multi-graph, does not contain a rainbow copy of the path $P_5$ on $5$ vertices, that is, a copy of $P_5$ with each of its four edges belonging to a different $G_i$. We consider two versions of the problem, in which, respectively, $\sum_i e(G_i)$ and $\min_i e(G_i)$ is maximized. In the former case, we determine the maximum precisely for all $k\le n-1$ (and also for $P_4$). In the latter, we obtain an asymptotic value for $k\in\{5,6,9\}$ and formulate a very plausible conjecture for all other values of $k$. We also solve the problem for $k=4$, but under an additional assumption of completeness.
